第15讲 余弦定理、正弦定理的应用-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）

第15讲 余弦定理、正弦定理的应用 【学习目标】 1、进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 2、了解常用的测量相关术语； 3、能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。 【考点目录】 考点一：判定三角形的形状 考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题 考点三：求三角形面积范围与最值问题 考点四：几何图形的计算 考点五：距离测量问题 考点六：高度测量问题 考点七：角度测量问题 考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用 【基础知识】 知识点一、解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 知识点二、解三角形应用题的基本思路 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 【考点剖析】 考点一：判定三角形的形状 例1．（2022·天津·高一期末）在中，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】因为，所以 所以，即， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，即是直角三角形. 故选：A 例2．（2022·全国·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（    ） A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由正弦定理及题意，得， ． ∵，∴， ∴或， 即或． ∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形． 故选：D 考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题 例3．（2022·四川内江·高一期末（文））中，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 即， 由正弦定理可得， 由余弦定理， 因为，所以， 由正弦定理，所以， 因为，所以，所以. 故选：A 例4．（2022·山西运城·高一阶段练习）在中，，D是BC中点，且，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为是的中点，所以， 因为，，所以， 在中由正弦定理，有， 所以，． 所以 ，（其中，，所以时，此时取得最大值为，所以的最大值为． 故选：A 例5．（2022·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 由正弦定理可得， 再由余弦定理可得， ,. 所以在锐角中，， 由正弦定理得： 所以， 所以. 因为， 所以， 所以. 故选：D. 考点三：求三角形面积范围与最值问题 例6．（2022·江苏南通·高一期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(    ) A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【解析】， ， 即， 即， 则， 整理得， ∴， 当且仅当时取等号， ， 则． 故选：C． 例7．（2022·四川省岳池中学高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】，故，因为，所以，又，由余弦定理得：，由面积公式得：，由三角形三边关系得：，解得：，故当时，△ABC面积取得最大值，此时面积为3. 故选：A 例8．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：，； ，，，解得：， ； 由正弦定理得：； 为锐角三角形，，解得：， ，，， . 故选：D. 考点四：几何图形的计算 例9．（2022·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. (1)求AC； (2)求. 【解析】（1）因为的面积为，所以. 又因为，，所以. 由余弦定理得，， ，所以. （2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以. 例10．（2022·辽宁·高一期末）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，. (1)求的长以及四边形的面积； (2)设，，求的值. 【解析】(1)由余弦定理可得， 整理可得，因为，解得. 由圆内接四边形的性质可知， 所以，，