专题七 解三角形-【高考解码】2023年山东省高二学业水平考试（合格考）数学

专题七 解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,则AC= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为 ( ) A.2π3 B. 5π 6 C. 3π 4 D. π 3 3.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=13 ,则sinB= ( ) A.15 B. 5 9 C. 5 3 D.1 4.在△ABC中,若A=60°,B=45°,a=3 2,则b= ( ) A.4 3 B.2 3 C.3 D.32 5.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站南偏西40°,灯塔B 在观察站南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的 ( ) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80° 6.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=5,b=4,cosC=45 ,则△ABC的面积是 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acosB=c,则△ABC的形状一定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 8.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A 点的仰角分别 为30°和45°,则A 点离地面的高AB 等于 ( ) A.10m B.5 3m C.5(3-1)m D.5(3+1)m 9.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC= 3 2 ,则边BC的长为 ( ) A.3 B.3 C.7 D.7 10.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,A=30°,则其 跨度AB的长为 ( ) A.12m B.8m C.2 3m D.4 3m 11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=15,b=18,A=30°,则此三角形解的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 12.在△ABC中,b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆面积为 ( ) A.1963 B. 196π 3 C. 49 3 D. 49π 3 ·31· 二、填空题 13.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15 3,△ABC的外接圆半径为 3,则边c的长为 . 14.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°,则c= . 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=8,B=60°,C=75°,则b= . 16.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD 的高度分别为20m,50m,BD 为水平面,则从建筑物AB 的顶 端A 看建筑物CD 的张角为 . 三、解答题 17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c= 3,b=1,C=120°. (1)求B的大小; (2)求△ABC的面积S. 18.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若C=45°,b=4 5,sinB=2 55 . (1)求c的值; (2)求sinA 的值. ·41· (2)当f(x)取得最大值时,sin2x-π3 =1, 有2x-π3=2kπ+ π 2 ,k∈Z, 即x=kπ+5π12 ,k∈Z, ∴所求x的集合为 x|x=kπ+5π12 ,k∈Z . 专题六 平面向量及复数 1.C 单位向量的模相等. 2.C 如图,AD→与CD→的夹角为∠ABC=120°. 3.A 设z=5+bi(b∈R),则|z|= 25+b2, 又|4-3i|= 42+(-3)2=5,∴ 25+b2=5,∴b=0. 4.C 因为AO→+OD→=AD→,AC→+CD→=AD→,所以AO→+OD→= AC→+CD→. 5.D ∵z1-z2=5-7i,∴z1-z2 在复平面内对应的点位 于第四象限. 6.A b=a+b-a=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 7.D 如图,作菱形ABCD,则|AB→-BC→|=|AB→-AD→|= |DB→|= 3. 8.D AB→=AO→+OC→+CB→=-a+b+12a=b- 1 2a. 9.B ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2 =22-8×2×1×cos60°+16×12=12, ∴|a-4b|=2 3. 10.C 由a∥b,可得m=-4,所以b=(-2,-4), 所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8). 11.D 2+ai1+i= (2+ai)(1-i) (1+i)(1-i)= a+2 2 + a-2 2i=3+i , 所以 a+2 2 =3 , a-2 2 =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=4. 12.D