第02讲 平面向量的线性运算-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的线性运算 1．向量的加法 （1）向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． （2）向量加法的三角形法则 如图，已知向量，，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 【注意】当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形． （3）向量加法的平行四边形法则 如图，已知两个不共线的向量和，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的平行四边形法则． 【注意】若个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即，如图． （4）和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有． ① 当与共线且同向时，； ② 当与共线且异向时，； ③ 当与不共线时，． （5）向量加法的运算律 交换律：； 结合律：． 【注意】 ① 当、至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立； ② 当、共线时，交换律和结合律也成立． （7）向量加法的实际应用 向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用． 2．向量的减法 （1）相反向量：我们把与向量长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作． ① 规定零向量的相反向量仍为零向量，且①；②； ② 若，互为相反向量，则，，． （2）向量减法的定义：向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． 3．向量减法的几何意义 （1）非零共线向量，的差； ①若，反向，则与同向，且． ②若，同向， （ⅰ）若，则与同向，且； （ⅱ）若，则与反向，且； （ⅲ）若，则． 其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）． （2）非零不共线向量，的差： ①如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量． ②如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义． 4．向量减法的三角形法则和平行四边形法则 从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则． 减法的三角形法则的作法：在平面内取一点，作，，则，即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）．具体作法如图（1）（，不共线）和图（2）、（3）（，共线）所示． 减法的平行四边形法则的作法： 当，不共线时．如图（1），在平面内任取一点，作，，则由向量加法的平行四边形法则可得，这是向量减法的平行四边形法则． 若，同向共线，如图（2）所示； 若，异向共线．如图（3）所示． 5．向量的加法和减法的运算问题 关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”． 解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果． 6．向量的数乘 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作．它的长度和方向规定如下： （1）； （2）时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，． 【注意】 （1）对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． （2）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． 7．向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： 1 结合律：； 2 第一分配律：； ③第二分配律：． 8．向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使． （2）向量共线定理的注意问题： ① 定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ② 定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③ 定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 考点1：向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【例1】（1）如