专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆（对角互补或等弦对等角），上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2020·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　） A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论． 【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4， ∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上， 当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2， ∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故选：B． 【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解． 例2．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________． 【答案】2 【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小． 【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N． ∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1， ∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′． ∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E， ∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴， ∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴， 当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值，故答案为2． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___． 【答案】     ；  【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到、、在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接， 、分别是、的中垂线，， 、、在以为圆心，为半径的圆上， ，， ，，，， ，， 又， ．故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到、、在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 例4．（2022·广东·汕头市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 【答案】## 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=，故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 模型2、定边对直角模型（直角对直径） 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径