（微专题）数列前n项和常见求法 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

【专题16】数列前n项和常见方法 【知识点回顾】 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、 等差数列的前项和公式： 2、 等比数列的前项和公式： 3、 常用几个数列的求和公式： (1)、 (2)、 (3)、 类型一 ：公式法、分组求和法 【典例1】（2020·全国）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 　　分组转化法求和的常见类型:(1)若,且数列,为等差或等比数列,则可采用分组转化法求的前项和;(2)通项公式为的数列,其中数列,是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和. 【变式1】（2020拉萨那曲第二高级中学）设是公比为正数的等比数列， ，. （1）求的通项公式； （2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和. 【变式2】（2020·江苏连云港市）已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足求的前n项和 类型二：倒序相加法 【知识点讲解】 这是推导等差数列前项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排序（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个. 【典例2】（2020·全国高三专题练习）定义在上的函数,,,求. 感悟升华（核心秘籍） 倒序相加法特点：距首末两项“等距离”的两项之和都相等，多考选择填空题，与函数，数列向结合。 【变式1】（2020·包头市第九中学）已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ） A． B．33 C． D．34 【变式2】（2020·内蒙古包头市·高三二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ） A．100 B．105 C．110 D．115 【变式3】（2020·宁都中学高三月考）已知若等比数列满足则（ ） A． B．1010 C．2019 D．2020 类型三： 裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 (2)常见的裂项技巧 等差型：或 类型① 特别注意 类型②（尤其要注意不能丢前边的） 理论上来讲像形如都可以裂项的 像也是这种类型。 类型③（尤其要注意不能丢前边的） 【例题1-1】（2021·甘肃高三开学考试（文））已知数列满足，． （1） 证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 感悟升华（核心秘籍） 本例是裂项相消法的简单应用，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了。 【例题1-2】（上海市金山中学高三期中）已知数列满足，则数列的前n项和为______． 无理型： 类型④ 【例题2】（2020·山西高三期中（文））已知是等差数列，，且.若. （1） 求数列通项公式； （2）求数列的前项和. 感悟升华（核心秘籍） 本例是含有根式型裂项，注意分母有理化计算。 指数型： 特别地，类型⑤ 【例题3】（2021·广州市·广东实验中学高三月考）已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前n项和． （1） 求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：． 感悟升华（核心秘籍） 本例通项比较复杂，裂项时不能完全记忆类型⑤的公式，建议裂项完后通分检验是否正确。 对数型： 特别地，类型⑥ 【变式1-1】（2021·全国高三专题练习）已知，设，数列的前项和______. 【变式1-2】（2020·静宁县第一中学高三月考）已知为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【变式2】数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为____________. 【变式3】（2021·山东济南·高三月考）数列的前项和为，. （1）求，； （2）设，数列的前项和为.证明：. 类型三：错位相减法（等差×等比） 【知识点讲解】 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 用途： 1、推导等比数列前项和公式； 2、求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。 1. 通项特征：一次函数*指数型函数（等差×等比） 2. 解题思路 【例题精讲】 【例题1】 已知数列的通项为，求数列的前项和。 【变式1】求数列（为常数）的前项和。 【例题2】（2021·石嘴山市第三中学高三期末）设数列､的前项和分别为､，且，， （1）求数列､的通项公式； （2）令，求的前项和. 【变式2】（2020·黑龙江高三月考）设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和. 类型四:分组、并项求和法 有一类数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列拆开（或者再并项组合），可分为几个等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即