（微专题）数列通项公式的求法 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

【专题15】数列通项公式求法 类型一 公式法：对于给出与关系式，求数列通项公式 【典例1】（1）（2020·广西民族高中）数列的前n项和，则它的通项公式是__________. （2） （2020·广东深圳市·明德学校高三月考）设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________． (3) （2020·榆林市第十中学高三月考）已知数列满足，则________，________． (4)在数列{}中，已知，，（＞0），求和. 　　数列的通项与前项和的关系是当时,若适合,则的情况可并入时的通项;当时,若不适合,则要用分段函数的形式表示. 【变式1】（2020·全国高三专题练习）数列的前项和为，则_________________. 【变式2】（2020·全国高三专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是________． 【变式3】（2020·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______． 一、递推数列： 类型一 累加法：形如型的递推式 【典例2】已知数列{}中，. 当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累加法（叠加法）”的方法求解通项公式. 【变式1】（2020·全国高三专题练习）已知在数列的前项之和为，若，则_______． 【变式2】（2020·通榆县第一中学校高三期中）已知数列满足，，则 。 类型二 累乘法：形如型的递推式 【典例3】（2020·江西九江市）设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________. 当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“累乘法（叠乘法）”的方法求解通项公式. 【变式1】在数列{}中，已知，，求. 【变式2】（2020·安徽省泗县第一中学）已知，，则数列的通项公式是 铺垫：由递推关系式求通项：转化为……等形式的等差、等比数列再求 【典例4】在数列{}中，已知. （1）若则= . （2）若，则= . （3）若，则= . 【变式1】 数列满足. ①证明是等差数列；②求数列{}的通项公式. 类型三 构造法：形如的递推式 通用方法： 方法一：迭代法。即利用递推公式逐次将用表示，直到用表示，求和即得通项公式. 方法二：待定系数法 1、 形如型的递推 【典例5】已知数列{}中，，，求. 当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“构造法”的方法构造一个的等比数列，（其中），新的等比数列公比为，首项为，通过新数列可以把的通项公式求解出来. 【变式1】（2020·静宁县第一中学高三月考）已知数列中，，（且），则数列通项公式为 2、 形如型递推 【典例6】已知数列中，，求. 解法：待定系数法：转化为 当数列的通项满足形如型的递推式时，可采用“待定系数法转化为，（其中），再令，是一个以为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式. 【变式1】已知数列，且，求通项公式. 3、 形如型递推 构造等比数列，再用待定系数法求解即可. 【典例7】已知在数列中，,且，求通项公式. 4、 形如型递推 构造等比数列，再用待定系数法求解即可. 【典例8】已知在数列中，有，求通项公式. 5、 形如型递推 相除法构造等差数列 【典例9】已知在数列中，有，求通项公式. 6、 形如型递推 【典例10】 已知数列中，，求. 当数列的通项满足形如型的递推式时，方法一：可采用“构造法”的方法在两边同除，构造一个的新数列，再令，得，利用叠加法得方法先把的通项公式求解出，进而求出的通项公式.方法二：可采用“构造法”的方法在两边同除，变成，再令，得，转化为前面例题的构造法，从而把的通项公式。 【变式1】已知数列中，，，求通项公式　　． 7、 形如型递推式 【典例11】（1）已知数列中，，且当时，，求通项公式. （2）已知数列中，，且当时，，求通项公式. 【变式1】（2020·湖南娄底市）在数列中，已知，，，则等于 【变式2】已知数列中，，，则求的通项公式　　． 8、 形如型递推式 同除构造新数列 【典例10】已知在数列中，，且，，求 【变式1】 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求的通项. 9、 形如型递推式 分析：两边取对数后构造等比数列 【典例11】已知在数列中，，，求 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专题15】数列通项公式求法 类型一 公式法：对于给出与关系式，求数列通项公式 【典例2】（1）（2020·广西民族高中）数列的前n项和，则它的通项公式是__________. （2）（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）设是数列的前n项和，且，则的通项公式