（微专题）：中点弦相关结论 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题12】中点弦相关结论 椭圆有关的经典结论 结论一：①AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，若AB、OM的斜率存在，则AB所在直线的斜率为，且； ②AB为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，若AB、OM的斜率存在，则AB所在直线的斜率为，且 结论二：椭圆的弦AB过原点，P为椭圆上异于A、B的一点，若PA、PB的斜率存在，则. 双曲线有关的经典结论 结论：（1）AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 (2)双曲线的方程为（），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有 (3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有 (4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有 抛物线中点弦的斜率公式 作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则； 作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则； 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】 第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则， 第二步：两式相减得， 第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。 若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值 类型1： 利用点差法确定直线方程 【典例1】椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程． 规律总结： 中点弦问题的常见类型及解决策略 常见类型 解决策略 ①过定点，定点为弦中点 ②平行弦中点的轨迹 ③过定点的弦的中点轨迹 联立消元法：将直线与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数的关系表示中点坐标 点差法（结果注意检验）：利用弦的两端点适合椭圆方程，做差构造中点、斜率的关系 注：“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有、、三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式既可以求出斜率. 【变式1】已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______. 【变式2】椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程． 【变式3】已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程. 【变式4】已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 类型二：利用点差法求曲线方程 【典例1】平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，求的方程 【变式1】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点、在椭圆上，且，求椭圆的方程及直线的斜率。 【变式3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 . 类型三：利用点差法解决曲线的几何性质问题 【典例1】已知斜率为的直线交椭圆于两点，若点是的中点，则的离心率等于( ) A. B. C. D. 【变式1】直线与椭圆相交于两点，且恰好为中点，则椭圆的离心率为_______； 【变式1】椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【变式3】椭圆与直线交于两点，若原点与线段的中点连线的斜率为，则的值是________． 【典例2】椭圆的左、右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是(　　) A B. C. D. 【变式1】（2018秋•东莞市期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＝　 　． 类型四：对称问题 【典例1】已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称，求实数的取值范围　 　． 规律总结： 解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点关于直线l对称，则l垂直于直线且的中点在直线l上”的应用. 【变式1】已知椭圆的左焦点为,为坐标原点，设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线