（微专题）：抛物线 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题11】抛物线 【思维导图】 【考点梳理】 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 标准方程 图 形 几 何 性 质 范 围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶 点 坐标原点(0，0) 离心率 2.抛物线的焦半径 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 3.直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线联立组成方程组，消去得到. 当时，直线与抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时只有一个交点，当时，设其判别式为， （1）相交：直线与抛物线有两个交点； （2）相切：直线与抛物线有一个交点； （3）相离：直线与抛物线无交点； 注： 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. 4.抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为抛物线的焦点弦，，，则： 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．且通径长为2p． 4.常用结论 直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 如图：设α为AB的倾斜角 （1）y1y2＝－p2，x1x2＝. （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p. （3），， ＋为定值. （4）弦长AB＝．（5）以AB为直径的圆与准线相切． （6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°. 拓展： 抛物线中点弦的斜率公式 作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则； 作直线交抛物线于A、B两点，且,是抛物线的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则； · 考法一 抛物线的定义及其应用 【典例1-1】已知动圆M过点且与直线相切.则动圆圆心M的轨迹C的方程_____________ 归纳总结：抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）. 【变式1】已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则动点的轨迹方程为_______． 【变式2】已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且． （1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由； （2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程． 【典例1-2】设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点. ①点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值为________. ②点P到直线和直线的距离之和的最小值为________. ③若B（3，2），则的最小值为________. ④若B（3，4），则的最小值为________. 规律总结： 双曲线定义的应用 (1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，一个定点（抛物线的焦点），一条定直线（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）. (2)应用抛物线定义的两个关键点 ①利用抛物线定义，可以实现抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化. ②注意灵活应用抛物线上一点P到焦点F的距离. (3)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，“看准线想焦点，看焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. 【变式3】（2021·唐山市第十一中学高三月考）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式4】（2021·梧州高级中学高二月考（理））若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式5】（2021·山西晋中市·高二期末（理））已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【变式6】已知点为抛物线上一动点，点为圆：上的动点，记动点到轴距离为，则的最小值为