（微专题）：双曲方程及其简单性质 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题2】双曲方程及其简单性质 【思维导图】 【考点梳理】 1．双曲线的定义平面内动点与两个定点的距离差的绝对值等于常数(小于大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合，，其中为常数且： (1)若时，则集合为线段的中垂线； (2)若时，则集合为双曲线； (3)若时，则集合为两条射线； (4)若时，则集合为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 () () 图　形 范围 或，R R，或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 渐近线 离心率 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的半实轴长，叫做双曲线的半虚轴长 的关系 常用结论： （1） 焦点到渐近线的距离为. （2） 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线标准方程可写作：双曲线的离心率为双曲线的两条渐近线相互垂直（位置关系）. （3） 焦半径 （4） 通径：过焦点且垂直实轴的弦，最短焦点弦 · 考法一 双曲线的定义及其应用 【典例1】（1）设平面内有两个定点，和一个动点，命题甲：为定值;命题乙:点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2） 若双曲线的左、右焦点分别为，，点P是双曲线上的一点，且，则 ________. 【变式1】如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与 关于轴对称，则的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27 【变式2】设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对 【变式3】.已知双曲线左焦点，左右顶点分别为，为双曲线上任一点，则分别以线段为直径的两个圆的位置关系是_____________ 【变式4】已知P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ） A． B. C. D. 【典例2】(1)若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________. 【点睛】 本题考查双曲线的定义、三角形的两边之差小于第三边，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意利用定义进行转化问题. (2)（2021·浙江宁波市·高二期末）设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 规律总结： 双曲线定义的应用 （1） 判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程； （2） 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，建立的关系. 提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一直，若是双曲线的一支，则需要搞清是哪一支. 【变式5】已知为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则＝________. 【变式6】已知点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式7】（2021·乌苏市第一中学高二开学考试）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． · 考法二 双曲线的标准方程 【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点，且焦点在坐标轴上． （2）渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10 （3）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）. 规律总结： 求双曲线标准方程的步骤： 根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标都有可能 做判断 根据上述判断设标准方程，或设出含其他待定系数的方程 设方程 根据已知条件，建立方程（组），求出待定系数 寻关系 将解代入所设方程，得双曲线得标准方程 得方程 利用待定系数法求解双曲线方程时，多用到以下结论： ①与双曲线())共渐近线的双曲线方程为； ②若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可设为； ④与双曲线())共焦点的双曲线方程可设为； ⑤过两个已知点的双曲线可设为； ⑥与椭圆()有共同焦点的双曲线的方程可设为()). 【变式1】经过,的双曲线的标准方程为__________. 【变式2】已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x