（微专题）：椭圆方程及其简单几何性质 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题9】椭圆方程及其简单几何性质 【思维导图】 【考点梳理】 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． [点睛]　定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则： ①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2； ②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) 图　形 性质 范　围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶　点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦　距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则a－c≤|PF1|≤a＋c，a－c≤|PF2|≤a＋c. · 考法一 椭圆定义 类型1： 判断直线与椭圆的位置关系 【典例1】（1）已知椭圆，、是其左右焦点. ①过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长为 ②已知椭圆过原点的直线 (斜率不为零)与椭圆交于两点，为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为 （2） 已知为坐标原点,椭圆上的点到左焦点的距离为,为的中点,则的值等于 归纳总结： (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 【变式1】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上． （1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为 ； （2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 ； （3）若，则点P到焦点F1的距离为 ． 【变式2】设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【变式3】Q是椭圆上一点，为左、右焦点，过F1作外角平分线的垂线交的延长线于点，当点在椭圆上运动时，点的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式4】已知点，椭圆与直线交于点A，B，则的周长为（ ） A． B．8 C．4 D． 【典例2】（2021·全国高二）已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（ ） A．10 B．11 C．13 D．21 归纳总结： 椭圆定义的应用求最值通常定义和三角形边长关系结合使用，利用两边和与两边差的关系求解最值． 【变式1】点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是___________． 【变式2】（2021·全国高二）已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，点在圆：上，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式3】(选做)早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（　　） A． B． C． D． 【痛点直击】有关椭圆上的点到焦点的距离最值时，要运用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点的距离和为定值进行转化。 · 考法二 轨迹方程和椭圆的标准方程 1、对椭圆的两种标准方程的理解：对于方程， ①表示焦点在x轴上的椭圆； ②表示焦点在y轴上的椭圆； ③表示椭圆且． 2、（1）椭圆经过两个点一般方程可设为 （2）共焦点的椭圆系方程 与椭圆共焦点的椭圆可设为； 与椭圆共焦点的椭圆可设为； （3）相同离心率的椭圆系方程 与椭圆共离心率的椭圆可设为 【典例1】“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A．“” B．“” C．“” D．“”且“” 【变式1】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要“既不充分也不必要”） 【变式2】方程（，且）与方程表示的椭圆，那