（微专题）：直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题8】直线与圆、圆与圆的位置关系 【思维导图】 【考点梳理】 考点1：直线与圆的位置关系 考点2：圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与的关系 公切线 4条 3条 2条 1条 无 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断： 【常用结论】 （1） 当两圆相交（切）时，两圆方程（项的系数相同）相减便可得公共弦（公切线）所在的直线方程. （2） 圆的切线方程常用结论 过圆上一点的切线方程： 1．若圆的方程是，则切线方程为； 2．若圆的方程是，则切线方程为； 3．若圆的方程是，则切线方程为； 4．当在圆外时，上述直线方程是为过点做两圆的切线，切点所在直线方程. （3）与圆相关的最值问题 1. 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点 2. 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小 3. 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 4. 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为 解：，则若最小，则只需最小即可， 所以点为过作垂线的垂足时，最小 过作圆的切线，则切线长最短 · 考法一 直线与圆的位置关系 类型1： 判断直线与圆的位置关系 【典例1】直线与圆的位置关系是 A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【分析】化圆的方程为标准方程求出圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离等于半径判断． 【解析】由，得． 圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系是相切．故选． 【典例2】已知圆：，直线：． （1）无论取任何实数，直线必经过一个定点，求出这个定点的坐标； （2）当取任意实数时，直线和圆的位置关系有无不变性，试说明理由； （3）请判断直线被圆截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时的值以及弦的长度． 【答案】（1）证明见解析；直线恒过；（2）答案见解析；（3）当直线垂直时，截得的弦最短，，． 【分析】（1）将直线的方程化简：将含参数的项合并，不含参数的项合并，分别令二者为，由此求解出定点坐标；（2）根据直线所过的定点与圆的关系，确定出直线与圆的位置关系；（3）根据条件分析出当直线垂直时截得的弦最短，根据垂直时对应的斜率之积为求解出的值，再利用勾股定理求解出的值． 【解析】（1）直线：可变形为 ， 由，解得，直线恒过； （2）圆心，， 因为，所以直线过圆内一定点， 不论取何值时，直线和圆总相交； （3）当直线垂直时，截得的弦最短， ，，，所以． 最短的弦长，所以，． 【名师点睛】本题考查直线与圆的综合应用，属于中档题． （1）求解直线过定点问题的方法：将直线方程中含参部分合并，将不含参部分合并，根据二者同为求解出对应的，即为定点的横纵坐标； （2）过定点的动直线被圆截得的弦最短问题的求解方法：考虑圆心到直线的最长距离，即为圆心到与定点连线垂直于动直线时，然后根据垂直关系求解问题． 【变式1】若直线与圆相切，则的值为 A．1或－1 B．2或－2 C．1 D．－1 【答案】D 【分析】根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径，计算即得的值． 【解析】圆的标准式方程是，故圆心是，半径， 直线方程为，依题意直线与圆相切，则圆心到直线 【变式2】已知直线，圆． （1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点； （2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值． 【答案】（1）证明见解析；（2），． 【分析】（1）求出直线过定点，此定点在圆内即证； （2）定点与圆心连线与垂直时，截得的线段最短，由此可得． 【解析】（1）直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点． ，即点在圆内，直线与圆C恒相交于两点． （2）当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直． ，直线l的斜率，则，解得． 此时，弦长． 【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．如果直线恒过圆内一点，则直线与圆一定相交，过圆内一定点的弦，当弦过圆心时弦长最长，当定点与圆心连线与弦垂直时，弦长最短． 类型2： 由直线与圆的位置关系求参数 方法总结： (1)已