（微专题）：圆的方程 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题7】圆与圆的方程 【思维导图】 【考点梳理】 考点1：圆的方程 1． 圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点的集合； 2． 圆的方程 （1） 圆的标准方程：； 注：圆的标准方程的特点 ①展开式是二元二次方程，且的系数相同；②几何特征明显（圆心丁位置，半径定大小）；③确定圆的方程需要三个独立条件. 圆的一般方程：（），圆心，半径. 推广： 方程 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心，以为半径的圆 考点2：点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系有： 位置关系 与的大小 图示 点的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 2、 点到圆上的最大距离为；点到圆上的最小距离为（为圆心，为半径）. 注：圆的三个常用性质： （1） 圆心在过切点且垂直于切线的直线上； （2） 圆心在任意弦的中垂线上； （3） 两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 【常见考法】 · 考法一 求圆的方程 【典例1】已知圆的圆心在直线上，且过两点，，则圆的方程是___________． 【变式1】经过三点，，的圆的面积 A． B． C． D． 【例题2】已知圆：和圆：相交于A，B两点．若圆C的圆心在直线上，且圆C过A，B两点，则圆C的方程为___________． 【名师点睛】求圆的方程的方法： （1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：若已知条件与圆心和半径都有关，设圆的标准方程，根据已知条件列出关于 、的方程组，从而求出 、的值； （3）若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，根据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值； 【变式2】已知圆的圆心在轴上，且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若圆与圆有公共点，求的取值范围． 【例题3】（2021·辽宁朝阳市·高二其他模拟）（多选题）已知方程，若方程表示圆，则的值可能为（ ）． A． B．0 C．1 D．3 【变式3】方程表示圆的条件是（　　） A． B．并且 C．并且 D. 并且 · 考法二 点与圆的位置关系 【典例1】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【变式1】已知点和圆：，过点作圆的切线有两条，则实数的取值范围是 A． B．或 C．或 D． 【变式2】设圆，定点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的取值范围是________． 【变式3】若过点可作圆的切线有两条，则有 A． B．或 C． D．上述均不对 · 考法三 与圆有关的最值问题 类型1： 借助几何性质求最值 【典例1】（1）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． （2）已知实数，满足方程． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 规律总结： 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合的思想求解，常见的有以下几种类型： (1)当直线和圆相离时，圆上的点到直线的距离的范围是（为圆心到直线的距离）. (2)形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题． (3)形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (4)形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【变式1】圆为过点，的圆中最小的圆，则圆上的任意一点到原点距离的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 【变式2】已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设点在圆上，求的面积的最大值． 【变式3】设是圆上任意一点，则的最大值为　　 A．6 B．25 C．26 D．36 【变式4】已知实数，满足方程，则的最大值为 　　． 【变式5】若实数满足，则的最小值是______． 【变式6】设，直线与直线交于点，则的取值范围是_______. 类型2： 建立函数关系求最值 【典例1】设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为______. 规律总结： 根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值. 【变式1】设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为______. 类型3： 利用对称求最值 【典例1】设圆与圆，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为　　 A． B．