（微专题）：直线的位置关系与距离公式 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题6】直线的距离与对称问题 【思维导图】 【考点梳理】 考点一 两条直线平行与垂直的判定 （１）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2； ②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． （２）两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. （３）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1； ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为垂直． （４）两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 考点二 两条直线的交点 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 考点三 三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝. 考点四 对称问题 （1）、点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点 .特别地,点P关于坐标原点O的对称点为. （2）、点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系: ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即. 【常见考法】 · 考法一 直线的平行与垂直 【典例1】已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若l1∥l2，求b的取值范围；　　　　(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值． 【变式1】已知直线：和：，分别就下列条件求出实数m的值. （1）直线与垂直；　　　　（2）直线与平行. 【变式2】已知两条直线和，试分别确定的值，使： （1）与相交于一点；　（2）且过点；　（3）且在y轴上的截距为． 【变式3】已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小值是（ ） A． B． C．8 D．24 · 考法二 直线方程、直线与直线的交点问题 【典例1】（1）（2020·四川遂宁市·高二期中（理））设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一期末）（多选题）三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（ ） A． B．1 C．2 D．5 【变式1】经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线共有 A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式3】若线性方程组有解，则实数的取值范围是_____________. 【典例2】（2021·全国）若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】设点，，直线l过点且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．不存在 · 考法三 距离公式的应用 【典例1】（1）（2021·焦作市第一中学高一期末）（多选题）已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． （2）（2020·贵溪市实验中学高二月考（理））已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ） A． B．3 C． D．1 【变式2】（2021·全国高二专题练习）直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P. (1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程； (2)若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程． 【变式4】直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是　　 A． B． C． D． 【典例2】（2022全国高二