（微专题）：直线倾斜角与斜率、方程 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【专题5】直线倾斜角与斜率、方程 【思维导图】 【考点梳理】 考点一 直线的倾斜角 （１）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. （２）范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)． 考点二 直线的斜率 （１）定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ. （２）计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率（倾斜角是90°的直线没有斜率）； （2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。 考点三、 倾斜角与斜率的关系 （1）当直线的倾斜角时，斜率，直线与x轴 平行 ； （2）当时，斜率，且k值增大，倾斜角随着 增大 ； （3）当时，斜率k 垂直 (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； （4）当时，斜率，且k值增大，倾斜角也随着 增大 . 考点四 直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即. 考点五 直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相 ，即. 考点六 直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 【常见题型】 · 题型一 概念梳理（多选题） 【典例1】下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有　　 A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 【变式1】下列叙述正确的是　　 A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【变式2】三条直线，，构成三角形，则的取值可以是　　 A． B．1 C．2 D．5 【变式３】如果，，那么直线经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例２】下列说法正确的是　　 A．不能表示过点，且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过两点，，的直线方程为 【变式1】下面说法中错误的是　　 A．经过定点，的直线都可以用方程表示 B．经过定点，的直线都可以用方程表示 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示 · 题型二 求值问题 【典例1】已知直线，则该直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【典例２】直线绕点逆时针旋转至直线，则直线的斜率为　　 A． B．3 C． D． 【变式1】直线l：的倾斜角为，则的值为（       ） A． B． C． D．3 【变式2】直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的直线方程　　 A． B． C． D． 【变式3】若正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为　　　　　　　，　　　　　　　　． · 题型三 直线与倾斜角的变化关系 【典例1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（       ） A． B． C． D． 【变式1】直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. ∪ D. ∪ 【变式2】（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（       ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【变式3】直线经过点，，，则直线倾斜角的