专题1.4二次函数的应用及综合问题精讲精练-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【人教版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】 专题1.4二次函数的应用及综合问题精讲精练 【目标导航】 【知识梳理】 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题． （一）简单应用 对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）．解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式． （二）建模应用 利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案． （三）销售问题 二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题． （四）运用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题．包括二次函数在没有限制条件下的最值，二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值． 1．二次函数在没有限制条件下的最值： 二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 2．二次函数在给定范围条件下的最值： 如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则需要计算当，，时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点不在此范围内，则只需要计算当，时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值（或者用二次函数的增减性来解）． 【典例剖析】 【考点1】二次函数的应用：销售问题 【例1】（2021秋•兴城市期末）某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元． 销售单价x（元/千克） 10 11 销售量y（千克） 300 270 （1）求y与x的函数关系式； （2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 【变式1.1】（2022秋•定海区期中）我市一家电子计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元． （1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买； （2）求该专卖店当一次销售x只时（x＞10），所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？ 【变式1.2】（2021秋•黔西南州期末）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯子，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）（不低于成本价）满足的一次函数关系如图所示． （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天销售获得的利淘最大？最大利润是多少？ 【变式1.3】（2022•黄冈二模）某超市计划在端午节前30天销售某品牌粽子，进价为每盒90元，设第x天（x为整数）的销售价格为每盒y元，销售量为m盒．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律： ①当1≤x≤10时，y＝200；当11≤x≤30时，y与x满足一次函数关系，且当x＝21时，y＝145；当x＝24时，y＝130； ②m与x的关系为m＝5x+20． （1）当11≤x≤30时，求y与x的函数关系式； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少． （3）超市要在当天销售价格的基础上涨a元/盒，结果发现第11到第15天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则a的取值范围为 　 　． 【考点2】二次函数的应用：面积问题 【例2】（2021秋•西秀区期末）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m