5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第 5 章一元函数的导数及其应用 人教A版2019选修第一册 5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时） 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 学习目标 1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景． 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 宋老师数学精品工作室 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题， 涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式. 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. 1. 平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从从x0到x0＋∆x的平均变化率. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 2. 导数的概念 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 例如问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即 问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 2. 导数的概念 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 概念强化： 1. f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 4. 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 . 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例题1 设 ，求 分析： 因为 所以 为了便于计算，我们可以先求出 ，再对它取极限. 宋老师数学精品工作室 解： 思考 你能总结出求函数y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？ 例题1 设 ，求 求函数y＝f (x)在 x＝1处导数 求y’| x＝1 查看导数定义，思考题目还可以怎么表述？ 宋老师数学精品工作室 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限 ， 若 存在，则 思考 你能总结出求函数y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？ 宋老师数学精品工作室 这个实际问题与导数有什么关系？ 例题2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 导数是瞬时变化率的数学表达. 宋老师数学精品工作室 解： 在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和 所以 因为 同理， 宋老师数学精品工作室 在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降. 导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 表示在第6h时，原油温度的瞬时变