第12讲 三角函数的定义（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（人教A版2019必修第一册）

第12讲 三角函数的定义 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：任意角和弧度制 必会题型二：三角函数的概念 必会题型三：同角三角函数的基本关系 必会题型四：诱导公式 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．角度制与弧度制的互化 (1)弧度数的计算：|α|＝．如图． (2)角度制与弧度制的换算 3．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角弧度数，θ为圆心角角度数，则 (1)扇形的弧长：l＝(角度制)；l＝|α|r(弧度制)； (2)扇形的面积：S＝πr2(角度制)；S＝lr＝|α|r2(弧度制) 4．利用单位圆定义任意角的正弦、余弦、正切函数 如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sinα；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cosα．比值叫做角α的正切函数，记作y＝tanα． 5．利用角的终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：如图所示，设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么： (1)比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝∈[－1，1]． (2)比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝∈[－1，1]． (3)比值叫作‍α‍的正切，记作tan α，即tanα＝＝∈R(x≠0)． 6．三角函数在各象限的符号(如图) 7．同角三角函数的基本关系及变形 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (2)商数关系：tanα＝＝；sinα＝tanαcosα 8．诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 (α看成锐角) 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：任意角和弧度制 1．(2022·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习)下列命题： 第四象限的角可表示为 第二象限角大于第一象限角 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为 若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 2．(2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习(理))在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为(    ) A． B． C． D．以上都不对 3．(2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习)已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为(    ) A．2 B．4 C．2或4 D．1或4 4．(2022·广西贵港·高三阶段练习)如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则(    ) A．3 B．4 C．6 D．8 5．(2022·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习)已知半径为的圆O中，弦AB的长为4． (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S． 必会题型二：三角函数的概念 1．(2022·江苏·连云港外国语学校高一阶段练习)已知角的终边经过点，且，则m等于(    ) A．－3 B．3 C． D． 2．(2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习)已知角的终边经过点，且，则的值为(    ) A． B． C． D． 3．(2022·贵州·遵义市南白中学高三阶段练习(理))若是第二象限角，且满足，则(    ) A． B． C． D． 4．[多选](2022·辽宁·东北育才学校高一期中)下列四个选项，正确的有(    ) A．在第三象限，则是第二象限角 B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角(正角)的弧度数为 C．若角的终边经过点，则 D． 5．(2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习)已知扇形的面积为4，则该扇形的周长的最小值为______． 必会题型三：同角三角函数的基本关系 1．