27.1.2 第1课时 圆的对称性（Word教案）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（华东师大版）

1．理解圆的旋转不变性；(重点)

2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)

3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？

二、合作探究

探究点一：圆的对称性

  下列说法中，不正确的是（　　）

A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形

B．圆的每一条直径都是它的对称轴

C．圆有无数条对称轴

D．圆的对称中心是它的圆心

解析：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，故B错误；C．圆有无数条对称轴，正确；D．圆的对称中心是它的圆心，正确．故选B．

方法总结：由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义易得圆既是轴对称图形，也是中心对称图形．是轴对称图形时，过圆心的每一条直线都是它的对称轴；是中心对称图形时，对称中心是它的圆心.注意：圆的对称性包括旋转不变性，轴对称性和中心对称性.圆的对称轴是直径所在的直线而不是直径.

探究点二：圆心角、弧、弦之间的关系

【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等

如图，M为⊙O上一点，＝，MD⊥OA于点D，ME⊥OB于点E，求证：MD＝ME.

解析：连接MO.根据等弧对等圆心角，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD＝ME.

证明：连接MO.∵ ＝，∴∠MOD＝∠MOE，又∵MD⊥OA于点D，ME⊥OB于点E，∴MD＝ME.

方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．

【类型二】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等

如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于点E，求证：＝.

解析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB＝∠BOE，则可证得＝.

证明：如图，连接OE.∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴＝.

方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

 

【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求 、的度数．

解析：连接CD.由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数．

解：如图，连接CD.∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°.∵∠ACD、∠BCD分别是、所对的圆心角，∴的度数为72°，的度数为18°.

方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．

三、板书设计

圆的对称性

1. 圆的对称性

2．①圆心角、弧、弦之间的关系

②应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题

本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.