期末知识点总结和方法专练 函数的性质-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2022-2023 高一数学上期末知识点总结和方法专练—函数的性质 一、函数单调性 函数f(x)的增减性： （1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________，如图①所示． （2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________，如图②所示． ①正比例函数f(x)=kx(k≠0),当k>0时为增函数,当k<0时为减函数; ②一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时为增函数,当k<0时为减函数; ③反比例函数f(x)=(k≠0),当k>0时,函数在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,当k<0时,函数在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数; ④二次函数的单调性：对函数， 当时函数在对称轴的左侧单调递减，右侧单调递增； 当时函数在对称轴的左侧单调递增，右侧单调递减； ⑤对数函数y=logax(a>0且a≠1), 当0<a<1时, 函数为减函数, 当a>1时, 函数为增函数. ⑥指数函数, 当0<a<1时, 函数为减函数, 当a>1时,函数为增函数. ⑦幂函数y＝xα在第一象限内。如果α＞0，则幂函数的图象过原点，并且在[0，＋∞)上为增函数．如果α<0，则幂函数的图象在(0，＋∞)上为减函数，图象无限接近x轴与y轴．其他象限看奇偶性. 1）、定义的等价命题: 设 （1）如果上是 函数； ◆对于任意的m，都有，则函数在为增函数。 （2）如果上是 函数. ◆对于任意的m，都有，则函数在减函数。 7）定义法判别单调性： （1）设元：设是给定区间上任意两个值，且； （2）作差：； （3）变形：（如因式分解、配方等）； （4）比较：即； （5）判断： 如：设那么 上是 函数； 上是 函数. 8) 图象法判别单调性 9）性质法判别单调性： （1）与（的在公共定义域内的单调性：增函数+增函数=增 减函数+减函数=减 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数。 （2）若，则与单调性 ；若，则与单调性 ； （3）函数在公共定义域内与的单调性 ； （4）函数（）在公共定义域内与单调性 ； （5）奇函数在其对称区间上单调性 ，偶函数在其对称区间上单调性 ； （6）若函数在某区间A上是增（减）函数，则在区间A的任一子区间上也是增（减）的； （7）复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同增异减). 【例1】 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【例2】下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2 【例3】求下列函数的单调区间． （1）f（x）＝1-3|x|； （2）f（x）＝|x2＋2x－3|． （3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3. 【例4】 函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【例5】 已知 在区间 上是增函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【例6】若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例7】函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A． B. C. D. 【例8】若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________． 【例9】 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例10】设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【例11】 已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【例12】函数y＝log(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________． 【例13】（多选）已知函数，给出下述论述，其中正确的有（ ） A．当时，的定义域为 B．一定有最小值； C．当时，的值域为； D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【例14】已知是定义在上的奇函数,且. （1）求的解析式；（2）判断在上的单调性, 【相似题练习】