期末知识点总结和方法专练 基本不等式-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2022-2023 高一数学上期末知识点总结和方法专练---基本不等式 1. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3. 若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）； 若，则 (当且仅当x=1或x=-1时取“=”） 4.若，则 (当且仅当时取“=”）； 5.若，则（当且仅当时取“=”） 5、若a、b、cR+，则 (当且仅当a=b=c时等号成立) ≥，其中ai＞0(i=1,2,…n) · 基本不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 【题模1】：求最值（基本不等式的理解与应用） 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；正所谓“积定和最小，和定积最大”． （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【讲透例题】 1、设，且，则下列四个数中最大的是 (　　) A.　　　　 B．a2＋b2 C．2ab D．a 2．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（       ） A． B． C． D． 3、如果，那么的最小值为（ ） A．4 B． C．9 D．18 【相似题练习】 1、已知直线y=mx+n过点，其中是正数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2、 已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________． 3、若，，则的最小值为___________. 4、（多选）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ） A． B． C． D． E 【题模2】：凑项（和形式求最值（保证积是一个定值）：凑成跟根号里或分母或分子的项一样） 【讲透例题】 1 已知，求函数的最大值。 2、已知函数f (x)＝(x<－1)，则(　　) A．f (x)有最小值4 B．f (x)有最小值－4 C．a f (x)有最大值4 D．f (x)有最大值－4 3、已知，则取到最小值时，( ) A． B． C． D． 【相似题练习】 1、已知，求的最大值 . 2、若，则的最小值为________. 3、已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 （ ） A．1 B． C．2 D． 【题模3】：凑系数（积的形式：凑系数使两个因式的和是一个定值） 【讲透例题】 1： 当时，求的最大值。 【相似题练习】 1、设，求函数的最大值。 【题模4】：分离换元（分离换元成的形式） 【讲透例题】 1、函数y＝的最大值为________． 2、当时，求函数的最小值． 【相似题练习】 1、 当时，求函数的最小值. 2、若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题模5】：应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数（a>0:对勾函数）的单调性。 函数y＝x＋(a>0)在 (－∞，－)，(，＋∞)上单调______；在(－，0)，(0，)上单调________. 【讲透例题】 1、求函数的值域。 2、设f(x)＝， 求f(x)在[2，＋∞)上的最大值． 【相似题练习】　 1、 已知，且，则的最小值为___________． 2、已知x≥6，求的最小值为 . 【题模6】：整体代换（“1”的应用） 1、问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知数部分须配成与分式分母相同 2、多次连用基本不等式求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 【讲透例题】 1、已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，若＋ (m>0)的最小值为3，则m的值为________． 2、函数y＝a1-x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线y=-x+ (mn＞0)上，则＋的最小值为________． 3、已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是( ) A．1 B． C．9 D．18 4、若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D． 7＋4 5、已知正数a，b满足a＋b＝2，求＋的最小值． 6、已知0<x<1,则的最小值是 . 【