第11讲 复数的四则运算-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（人教A版2019）

第11讲 复数的四则运算 【学习目标】 1、掌握复数集中的运算问题． 【考点目录】 考点一：复数的加减运算 考点二：复数的乘除运算 考点三：复数代数形式的四则运算 考点四：复数方程 考点五：复数的几何意义 【基础知识】 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律：z1+z2=z2+z1 结合律：：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3） 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=（a，b），=（c，d）以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 【考点剖析】 考点一：复数的加减运算 例1．（2022·黑龙江·大庆中学高三期中（理））设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 例2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）若复数，，，则___________. 【答案】 【解析】 解：由题意得， 则， 故答案为：. 考点二：复数的乘除运算 例3．（2022·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 不妨设复数，则有： 则有： 故有： 解得： 故选：B 考点三：复数代数形式的四则运算 例4．（2022·云南·高三期中（理））已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：由，得， 所以虚部为. 故选：A． 例5．（2022·新疆·一模（文））已知复数，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 ∵，∴. 故选：C 例6．（2022·福建龙岩·高三期中）已知复数满足，，则正数（ ） A．-2 B．-1 C．4 D．2 【答案】C 【解析】 因为，所以， 又因为，所以，解得正数． 故选：C 考点四：复数方程 例7．（2022·江苏·扬州中学高二期中）已知是复数，和都是实数. （1）求复数； （2）设关于的方程有实根，求纯虚数. 【解析】 （1）设， ，所以，， ，所以，， 所以； （2）设，又， ， 所以，解得．所以． 例8．（2022·福建·泉州五中高一期中）已知复数是方程的一个解. （1）求、的值； （2）若复数满足，求的最小值. 【解析】 （1）依题意得，，即， 所以，解得，； （2）由（1）可得，设， 则，， 因为，所以，整理得. ， 故当时，取得最小值. 考点五：复数的几何意义 例9．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求： （1）向量对应的复数； （2）向量对应的复数； （3）向量对应的复数． 【解析】 （1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i； （2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i； （3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i． 例10．（2022·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数. 【解析】 因为,分别表示复数,, 所以表示的复数为,即点表示的复数