第10讲 复数的概念-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（人教A版2019）

第10讲 复数的概念 【学习目标】 1、了解从实数系到复数系的扩充过程和方法． 2、研究复数的表示、运算及其几何意义． 【考点目录】 考点一：复数的基本概念 考点二：复数相等 考点三：复数的几何意义 考点四：复数的模 考点五：复数的轨迹与最值问题 【基础知识】 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 知识点诠释： ①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； ②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数（） 若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 通常记复数的共轭复数为． 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴． 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作． 即． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【考点剖析】 考点一：复数的基本概念 例1．（2022·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意，，，， 所以． 故选：C． 例2．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B正确． 故选：B． 例3．（2022·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位） （1）复数z是实数，求实数m的值； （2）复数z是虚数，求实数m的取值范围； （3）复数z是纯虚数，求实数m的值. 【解析】 （1）复数z是实数，则， 解得或； （2）复数z是虚数，则， 解得且且； （3）复数是纯虚数，则， 解得. 考点二：复数相等 例4．（2022·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？ 【解析】 根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，即，解方程得 ，， ， 所以或或或. 故答案为：或或或. 例5．（2022·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________. 【答案】 【解析】 解：因为 所以，解得 所以 故答案为： 考点三：复数的几何意义 例6．（2022·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 不妨设复数，则有： 则有： 故有： 解得： 故选：B 例7．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶