第06讲 平面向量的概念-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（人教A版2019）

第06讲 平面向量的概念 【学习目标】 1、了解向量的实际背景和概念． 2、清楚向量的几何表示． 3、区分相等向量与共线向量． 【考点目录】 考点一：向量的基本概念 考点二：向量的表示方法 考点三：利用向量相等或共线进行证明 考点四：向量知识在实际问题中的简单应用 【基础知识】 知识点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点三：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点四：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【考点剖析】 考点一：向量的基本概念 例1．给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确； 对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误； 对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误． 综上，正确的命题是①③． 故选：B． 例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】 ①若，则，故错误； ②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误； ③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误； ④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误； 故选：A 例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确； 因为向量不能比较大小，故②错误； 若，则向量方向相同，故③正确； 当时，向量的方向不能确定，故④错误. 所以正确命题的个数是2个. 故选：C. 考点二：向量的表示方法 例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【解析】 （1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （