第8章 专题5 第2课时 范围问题（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第二课时　范围问题 圆锥曲线中的范围问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求范围问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求范围问题. (2021·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，又四个顶点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)由点A求出b，再由四边形面积求出a，进而确定椭圆方程； (2)设出直线l的方程，联立消元，由判别式求出斜率的范围；设出直线AB，AC的方程，写出点M，N的坐标，利用条件“|PM|＋|PN|≤15”得到关于k的不等式后求解 解：(1)因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2. 又四个顶点围成的四边形面积为4， 故×2a×2b＝2ab＝4. 联立解得 故椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意可得，直线l的斜率存在， 且直线l的方程为y＝kx－3， 设B(x1，y1)，C(x2，y2). 联立得(5k2＋4)x2－30kx＋25＝0， Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0， 解得k＞1或k＜－1. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝，x1x2＝， 进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3) ＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝. 直线AB的方程为y＋2＝x， 令y＝－3，则x＝－，故点M(－，－3). 直线AC的方程为y＋2＝x， 令y＝－3，则x＝－，故点N(－，－3). 因此|PM|＋|PN|＝＋＝ ＝ ＝ ＝＝|5k|≤15， 即|k|≤3，解得－3≤k≤3. 综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3]. 方　法　规　律 范围问题的解题策略 解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有： (1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围； (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围； (5)利用函数值域的求法，确定所求范围. 练1　(2021·全国100所名校联考)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点.若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　C　) A．(0，)　 B．1)　 C．(，1)　 D．(0， 解析：设直线y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0，则b2＋1－m2>0. 设线段MN的中点为G， 则G点坐标为(－，)， 因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN， 所以直线BG的方程为y＝－x＋b， 且经过点G，可得＝＋b， 解得m＝，因为b2＋1－m2>0， 所以b2＋1－()2>0，解得0<b<， 因为e2＝1－＝1－b2，所以<e<1. 练2　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|＝|OP|，当l⊥x轴时，△AOB的面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l不过坐标原点时，求·的取值范围. 解：(1)因为△POF2为直角三角形， 所以b2＋c2＝|PF2|2＝(b)2，则b＝c，a＝b， 又S△AOB＝××c＝＝2，所以b2c＝2a， 所以b3＝2·b＝4b，则b2＝4，a2＝2b2＝8， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由(1)知F1(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)， 又直线l不过坐标原点， 所以设直线l的方程为x＝my＋2，则 得(m2＋2)y2＋4my－4＝0， Δ＝(4m)2＋16(m2＋2)>0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， 则·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16 ＝(m2＋1)＋4m·＋16＝－4＋， 因为m2＋2≥2，所以0＜≤18， 所以－4＜－4＋≤14， 所以·的取值范围是(－4，14]. 学科网（北京）股份有限公司 $