第8章 专题5 第1课时 最值问题（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

专题五　高考中的解析几何问题 第一课时　最值问题 圆锥曲线中的最值问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求最值问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值问题. (2021·山东临沂模拟)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为. 解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为. 方　法　规　律 几何法求解最值问题的策略 根据已知的几何量之间的相互关系或几何特征，把最值问题转化为某几何元素的临界位置问题(如求直线斜率的最值、距离的最值、三角形面积的最值等). 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形. (1)求椭圆的方程； (2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值. 思维 导引 学科素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)利用等腰梯形的高、面积与a，b，c的关系，确定椭圆方程； (2)设直线方程为x＝my－1，联立方程并消元，由根与系数的关系表示出三角形面积，通过换元将问题转化，利用基本不等式求函数的最值 解：(1)由已知条件，得b＝，且×＝3， ∴a＋c＝3. 又a2－c2＝3，∴a＝2，c＝1， ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)显然，直线的斜率不能为0， 设直线的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立方程 得(3m2＋4)y2－6my－9＝0. ∵直线过椭圆内的点， ∴无论m为何值，直线和椭圆总相交. ∴y1＋y2＝，y1y2＝－， ∴S＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝＝12 ＝＝，≥1， 可知3＋≥4， ∴S≤＝3，所以S△F2AB取得最大值3. 方　法　规　律 代数法求解最值问题的策略 把要求的最值问题(几何量或代数表达式)表示成某个(些)变量的函数，然后利用基本不等式或函数的单调性求解，有时也借助导数求最值. 练1　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值. 解：(1)由题意，得抛物线C：x2＝2py的焦点F(0，)， 圆M：x2＋(y＋4)2＝1的圆心M(0，－4)，半径是1. 由点F与圆M上的点的距离的最小值为4，得＋4－1＝4，解得p＝2. (2)设A(x1，)，B(x2，)，P(x0，y0). 由y＝，得y′＝， 所以直线PA：y－＝(x－x1)，　① 直线PB：y－＝(x－x2)，　② 且kAB＝＝， 则直线AB：y－＝(x－x1)， 即4y＝(x1＋x2)x－x1x2. 将点P的坐标分别代入①②， 解得x0＝，y0＝， 则直线AB：2y＝x0x－2y0. 所以|AB|＝＝. 易知点P到直线AB的距离d＝， 所以S△PAB＝d|AB|＝|x－4y0|＝(x－4y0)＝(－y－12y0－15). 因为y0∈[－5，－3]，所以当y0＝－5时，S△PAB最大，最大值为20. 练2　已知直线l1：ax－y＋1＝0，直线l2：x＋5ay＋5a＝0，直线l1与l2的交点为M，点M的轨迹为曲线C． (1)当a变化时，求曲线C的方程； (2)已知点D(2，0)，过点E(－2，0)的直线l与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值. 解：(1)由 得曲线C的方程为＋y2＝1(y≠－1，即点(0，－1)不在曲线C上). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－2， 由得(m2＋5)y2－4my－1＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 故△ABD的面积S＝2|y2－y1|＝2 ＝2＝， 设t＝，t∈[1，＋∞)， 则S＝＝≤， 当且仅当t＝，即t＝2，m＝±时，△ABD的面积取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $