第10章 第2节 二项式定理（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　二项式定理 1　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识梳理 1．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk. (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0，1，2，…，n). 2.二项式系数的性质 二项展开式形式具有的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 学霸笔记 1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项. 2.(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒. 3.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数部分，包含符号等，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n). 进阶诊断 1.判断正误 (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项.(　×　) (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　√　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　×　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　√　) 2.(选择性必修第三册·P31T4改编)(2x－1)10的展开式的第6项的系数是(　D　) A．26C B．－24C C．25C D．－25C 3.(选择性必修第三册·P34T6改编)(2x3－)10的展开式中的常数项是(　D　) A．32 B．－32 C．252 D．－252 4.已知(＋)n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　C　) A．1 B．±1 C．2 D．±2 5.(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是－160(用数字作答). 6.(选择性必修第三册·P34习题T2改编)(x＋2y)·(x－y)5的展开式中x3y3的系数是10. 　求展开式中的特定项或特定项的系数 多维贯通 　求二项展开式中的特定项 1.(2021·北京卷)(x3－)4的展开式中常数项是－4. 解析：由二项式展开公式可得C·(x3)1·(－)3＝－4. 2.(2021·上海卷)已知二项式(x＋a)5展开式中，x2项的系数为80，则a＝2. 解析：由二项式展开公式可得，Cx2a3＝80x2，解得a＝2. 3.(2019·浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是16；系数为有理数的项的个数是5. 解析：由题意，(＋x)9的通项公式为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0，1，2，…，9).当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个. 方　法　规　律 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r； 第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量. 　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 4.(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　A　) A．12 B．16 C．20 D．24 解析：因为(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋x)4＋2x2·(1＋x)4，其中(1＋x)4的展开式中x3的系数为C＝4，2x2·(1＋x)4的展开式中x3的系数为2C＝8，所以(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为4＋8＝12. 5.(2020·全国卷Ⅰ)(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：要求(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可.由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C＝10，x4y的系数为C＝5，故(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15. 方　法　规　律 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a＋