4.4数学归纳法-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)

4.4 数学归纳法 第四章 数列 1 课程标准 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 2 新课导入 问题1 回忆下，我们在高中的学习中认识了哪些数学证明方法？ 1.比较法 2.综合法（逆推法） 3.分析法（正推） 4.反证法 5.不完全归纳法 3 新课导入 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法. 不完全归纳法得到的结论不一定正确. 本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法 4 一 二 三 教学目标 了解数学归纳法的原理 掌握数学归纳法的步骤 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 （逻辑推理） 教学目标 难点 重点 易错点 新知探究 探究一 了解数学归纳法的原理、掌握数学归纳法的步骤 6 新知讲解 已知数列{}满足， = 计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 计算可得， ，再结合 由此猜想： 如何证明这个猜想呢？ 7 新知讲解 我们可以从开始一个个往下验证。 一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。 特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。 因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。 通过有限个步骤的推理，证明n所取所有正整数时都成立 8 新知讲解 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 大家一起来看下视频，并了解它的原理与步骤。 9 新知讲解 10 新知讲解 问题2：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. (1)第一块骨牌倒下； (2)若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下 根据(1)和 (2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 11 概念生成 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行: 归纳奠基→证明当n取第一个值时命题成立 归纳递推→以当时命题成立”为条件, 推出“当时命题也成立” 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 12 新知讲解 已知数列{}满足， = 计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想. （1）当n=1时猜想成立； （2）若n=k时猜想成立, 即 , 则当n=k+1时, = =1,猜想也成立， 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立. 所以，对于任意，猜想都成立，即数列{}的通项公式是 . 13 新知探究 探究二 数学归纳法的运用 14 例题讲解 例1. 用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么，= ① 对任何都成立. 15 新知讲解 证明：（1）当时，左边，右边= ,①式成立. （2）假设当()时， ①式成立，即= 根据等差数列的定义，有 于是 即当时， ①式也成立 由（1）（2）可知， ①式对任何都成立 16 方法小结 用数学归纳法证明恒等式时， 一是弄清取第一个值时等式两端项的情况； 二是弄清从到等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； 三是证明时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝证明目标的表达式变形. 17 例题讲解 例2 用数学归纳法证明： 证：（1）时，左边等于右边 （2）假设时，上式成立 即 (3)当时， 所以，成立 证明成立 18 新知讲解 例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. (1)当时，式子的左边= ，右边=，猜想成立. （2）假设当时， 式子成立即 (3)当时， 即当n=k+1时，猜想也成立. 即证明成立 19 小结 归纳奠基：证明当时命题成立； 归纳：以“当时命题成立”为条件， 递推：当时命题也成立. 只要完成这三个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 20 Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) $