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1.(2022·全国甲卷理)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图, eq \o\ac(AB,\s\up17(︵)) 是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在 eq \o\ac(AB,\s\up17(︵)) 上,CD⊥AB.“会圆术”给出 eq \o\ac(AB,\s\up17(︵)) 的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+ eq \f(CD2,OA) .当OA=2,∠AOB=60°时,s=( )
A. eq \f(11-3\r(3),2)
B. eq \f(11-4\r(3),2)
C. eq \f(9-3\r(3),2)
D. eq \f(9-4\r(3),2)
解析:由题意知,△OAB是等边三角形,所以AB=OA=2.连接OC,因为C是AB的中点,所以OC⊥AB,OC= eq \r(OA2-AC2) = eq \r(3) ,又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线,所以CD=OD-OC=2- eq \r(3) ,所以s=AB+ eq \f(CD2,OA) =2+ eq \f((2-\r(3))2,2) = eq \f(11-4\r(3),2) .
2. (2021·全国乙卷理)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )
A. eq \f(表高×表距,表目距的差) +表高
B. eq \f( 表高×表距,表目距的差) -表高
C. eq \f(表高×表距,表目距的差) +表距
D. eq \f(表高×表距,表目距的差) -表距
解析:由平面相似可知, eq \f(DE,AB) = eq \f(EH,AH) , eq \f(FG,AB) = eq \f(CG,AC) ,而DE=FG,所以 eq \f(DE,AB) = eq \f(EH,AH) = eq \f(CG,AC) = eq \f(CG-EH,AC-AH) = eq \f(CG-EH,CH) ,而CH=CE-EH=CG-EH+EG,即AB= eq \f(CG-EH+EG,CG-EH) ×DE= eq \f(EG×DE,CG-EH) +DE= eq \f(表高×表距,表目距的差) +表高.
3.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. eq \f(\r(5)-1,4)
B. eq \f(\r(5)-1,2)