4.4.1 数学归纳法（第1课时）课时教学设计（刘迪生）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 课题：第一课时 数学归纳法（1） （1） 教学内容 数学归纳法的基本原理和基本步骤 （二）教学目标 1. 通过“归纳猜想”的正反例子和“多米诺骨牌”情境，能理解“完全归纳”和“不完全归纳”的概念，能从实例中抽象出数学归纳法的基本原理，发展学生的数学抽象和逻辑推理等核心素养； 2. 通过数学归纳法的简单运用和错误使用的案例，掌握数学归纳法的基本步骤，并理解其每一步骤必不可少的作用，发展学生的数学运算和逻辑推理等核心素养。 （三）教学重点及难点 1. 重点 了解和掌握数学归纳法的基本思想及其基本步骤 2难点 对于数学归纳法基本原理的抽象和理解 （四）教学过程设计 问题1 ：已知数列满足，，计算，猜想其通项公式. 师生活动：学生通过计算可得：，再结合， 因而猜想：。 问题2：阅读下面的两个情景，你现在还认为前面归纳的结论正确吗？ 情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子由一是一横，二是两横，三是三横，得出“四就是四横、五就是五横……”的结论。 史书《周礼》中有这样一段记载“在各国从边疆到腹地的通道上，每隔一段距离，筑起一座烽火台，接连不断，台上有桔槔，桔槔头上有装着柴草的笼子，有敌人入侵时，烽火台就一个接一个地燃放烟火传递警报”. 情景二：法国数学家费马于1640年提出了以下猜想： 设，这五个数是质数，由此提出（费马没给出证明），形如的数都是质数的猜想。但在1732年，欧拉算出是一个合数。 设计意图：通过情境1的笑话，引入不完全归纳的思想，引发学生思考，情境2“费马数”，对学生进行数学史的熏陶，同时在用不完全归纳的时候，一样犯这种“美丽的”错误，让大家感受：归纳有风险，猜想须谨慎！从而引发思维冲突，前面猜出来的通项公式一定对吗？激发学生证明热情。 问题3：观看多米诺骨牌游戏的视频，思考多米诺骨牌游戏要取得成功，需要什么条件？ 情景三：我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 师生活动：一起探讨，得出多米诺骨牌游戏要取得成功，必须要有两个条件： （1）第一张牌被推倒； （2）保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒。 问题4：前面问题1中，我们猜想：，那这个猜想是正确的吗？你有什么办法证明吗？ 师生活动：学生尝试，初步得到数学归纳法的基本思路，但估计表达方面会有一些困难，语言不够严谨。 老师带领学生们一起优化表达，形成严谨的证明过程，如下： 证明：（1）当时，左边＝1＝右边，等式成立； （2）假设当时等式成立，即：， 则， 这就是说，当时，等式也成立。 由（1）和（2）可知，等式对任何都成立． 进而总结抽象出数学归纳法的原理： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当时命题成立，证明当时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。 设计意图：创设数学情境，通过观看生动的多米诺骨牌视频片段和思考多米诺骨牌效应的条件，根据学生的认知水平和规律，环环相扣，启发学生的思维，激发学生的兴趣，将数学归纳法很自然地提炼出来，让学生能了解数学归纳法的来龙去脉与数学化本质，感受引入数学归纳法的必要性。让学生进一步感受数学归纳法的思想源泉。 问题5（例1）：在数列中，，求证：。 证明：（1）当时，左边＝1＝右边，等式成立； （2）假设当时等式成立，即：， 则， 这就是说，当时，等式也成立。 由（1）和（2）可知，等式对任何都成立． 问题6：数学归纳法有几个步骤？ 师生共同探讨：数学归纳法有三个步骤： (Ⅰ)证明当 (如或2等等)时，结论正确； (Ⅱ)假设时结论正确，并应用此假设证明时结论也正确； (Ⅲ)下结论. 追问1：每一个步骤说明什么问题？其中的步骤可以缺少吗？ 师生共同探讨：①证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立. ②证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对…,是否正确. 在第二步中,命题成立,可以作为条件加以运用,而时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明. 完成一、二步后,最后对命题作一个总的结论. 追问2：数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？ 师生共同探讨：数学归纳法是完全归纳法