4.3.2-2 等比数列的前n项和公式的应用课时教学设计（王卫）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 第4课时 等比数列的前项和公式的应用 （一）教学内容 等比数列的前n项和公式的应用 （二）教学目标 1. 通过具体实例，能灵活运用等比数列的前n项和公式进行求和，发展数学运算素养. 2. 通过实际的问题情境，能抽象出等比数列模型，并能运用等比数列的概念、通项公式和前n项和公式、性质解决一些综合问题，发展数学建模和逻辑推理素养. （三）教学重点及难点 1. 重点：等比数列的前n项和公式的应用 2. 难点：等比数列的前n项和公式的综合应用 （四）教学过程设计 问题1：上节课我们学习了等比数列前n项和公式，你能写出公式并说明运用公式时需要注意什么问题吗? 师生活动：教引学生复习回顾等比数列前n项和公式，并请同学作答，其他同学补充 设计意图：通过简单的复习回顾，为本课时的学习作好铺垫和引导 问题2：如图4.3-2，正方形的边长为，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去． 图4.3-2 （1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 师生活动： （1） 学生独立思考后进行小组合作交流，小组代表展示，教师适时评价.对于第(1)小题，教师可引导学生类比用等差数列的前n项和公式解决问题的方法，发现等比关系，建立等比数列模型. （2） 教师追问1：从第一个正方形开始，后面一个正方形的面积和前一个正方形的面积存在怎样的关系?如何用数学符号表示你发现的这个关系? （3） 学生讨论得出结果:后面一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半.教师可用信息技术工具展示学生写出的关系式，并及时评价，强调建立等比数列模型时数学表达的规范性. （4） 教师追问2：第(1)小题求10个正方形面积之和，相当于是一个什么数学问题? （5） 学生思考后回答，并根据等比数列前n项和公式求出结果. （6） 教师追问3：如何理解题中的“如果这个作图过程可以一直继续下去”?并请同学们给出第(2)问的解答. （7）学生代表回答,教师适时评价师引导学生理解第(2)问就是在当无限增大时，前的变化趋项和的变化趋势是什么，教师适时启发同学们从多个角度对当n无限增大势进行探究. 角度一:当n无限增大，指数函数 的值趋近于0，趋近于50. 角度二:可利用信息技术工具作出函数的图象，结合函数的单调性，通过观察得出判断. 角度三:可以让学生借助直观来理解取极限的结果，即后一个正方形的面积是前一个正方形面积的一半，每增加一个正方形，可以将它的面积等同于围绕这个正方形外部的四个三角形的面积和，当n无限增大时，内部正方形的面积无限趋近于0，所以，无限趋近于原来正方形面积的两倍 设计意图：本题是利用等比数列的求和公式解决一个几何中的求面积和的问题。本题中渗透了极限 思想。尽管学生还没有极限的概念，但借助数值计算应该可以理解:随着n的无限增大，将趋近于 0.从多个角度尤其是借助直观理解极限的结果，能让学生体会数形结合的思想和数学知识之间的关联. 问题3：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）． 师生活动： （1）学生独立思考后小组交流、教师适时引导学生思考:根据实际情境，可以构建出两个数列--等比数列和等差数列，而每年以填埋方式处理的垃圾量可以用这两个数列的差构成的数列来表示,则求内通过埋方式处理的垃圾总量转化为求数列的前n项和. ， ， ． 当时，． 设计意图：本题需要学生根据实际情境，建立两个数列模型，最终所求量为两个数列通过线性运算得到的新数列的前n项和，经历本题的探究可以让学生感悟转化与化归的思想，发展数学建模和数学运算素养. 问题4：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…． （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成品的形式，其中k，r为常数； （3）求的值（精确到1）． 师生活动： （1） 第(1)小题根据实际背景，学生不难写出与之间的递推关系式并且很容易判断既不是等差数列，也不是等比数列.教师适时评价. （2） 教师追问1：根据递推公式能否直接算出(3)的结果? （3） 教师引导学生加深理解:数列的递推公式和通