4.3.2-1 等比数列的前n项和公式课时教学设计（王卫）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 第3课时 等比数列的前项和公式 （一）教学内容 等比数列的前项和公式 （二）教学目标 1.通过具体问题情境,经历等比数列的前n项和公式的探究和推导过程，能说出“错位相减法”的特点、适用条件以及操作步骤，说明等比数列的前n项和公式的结构特征，解释等比数列通项公式与前n项和公式的关系，并能联用两个公式解决“知三求二”的问题，能说出等比数列前n项和公式与指数函数之间的共性与差异，发展数学运算和逻辑推理素养. 2.通过等比数列前n项和公式的推导过程，能解释等比数列的定义在推导前n项和公式中的作用，体会公式推导过程中蕴含的特殊与一般、转化与化归、分类与整合等数学思想，发展数学运算和逻辑推理素养. （三）教学重点及难点 1. 重点：等比数列的前n项和公式 2. 难点：等比数列的前n项和公式的推导 （四）教学过程设计 问题1：国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求。国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40g据查，2016~ 2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 师生活动： （1） 学生自主阅读独立思考，教师提问. （2） 教师追问1：上述问题可以转化为一个什么数学问题?你将如何解决这个问题? （3） 教师引导学生从实际背景中抽象出等比数列模型，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.由于项数较多，直接计算繁琐不易操作，适时引起学生的认知冲突，引人本课时重点探究内容. 设计意图：通过将实际问题抽象成数学问题，激起学生的认知冲突，引入本课时的学习内容，为学生后续探究公式作准备. 问题2：一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢? 师生活动： （1） 教师启发学生思考，看能否利用已有的经验和方法，比如等差数列前n项和公式推导所用的“倒序相加法”去推导.碰到困难后，师生一起分析原因，引导学生从等比数列的概念去展开思考. （2） 教师追问1：前n项和公式是用“有限”项数的式子表示的，根据前n项和定义，该如何消除带“…”的部分，用基本量和表示通项呢? （3） 教师启发学生通过对等比数列前n项和公式的观察和分析开展探究，学生小组合作交流，充分思考后展示小组研究成果.对“消项”方法的探究要让学生充分思考，不断尝试，尤其是要充分利用等比数列的定义，从如何用基本量和表示通项，展开思考.教师不宜过多强调“错位相减法”，避免学生先人为主，限制思维空间教学中可能会出现如下几种推导思路: 思路一(错位相减法):，两边同乘公比得 ，往后错一位相减得 ，此处根据展示情况适时引导学生进行分类讨论 当q≠1时， 当q=1时， 思路二:由得 ， ， 发现,化简可得，注意验证n=1时等式是否成立. 思路三:， 再结合得 故，注意验证n=1时等式是否成立. 思路四:根据等比数列的定义(n≥2)， 再利用合比定理可以得到可得， 从而求出(q≠±1)，注意验证n=1时等式是否成立. （4） 教师追问2：我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联? （5） 学生思考后小组交流，由小组代表展示结论.当q=1时，是关于n的一次函数；当q≠1时，是一个特殊的指数型函数. 设计意图：等比数列前n项和公式的推导是本节课的重难点，而如何避免“强行”得到错位相减法是教学中需要认真思考的问题。要引导学生从两个方面展开思考:一是推导公式要从“无限”项到“有限”项。消项的思想必须贯穿在探究中;二是当“倒序相加法”等已知方法无法迁移使用时，要抓住等比数列的定义和前n项和公式的特点进行探究。本设计意在让学生通过经历整个推导过程，充分感悟由“多”到“少”由“无限”到“有限”的数学思想，进一步体会数学的简洁和严谨. 问题3：你觉得本节课开头故事里的国王能够兑现承诺吗? 师生活动：学生根据公式计算出数值后得出结论，教师适时评价.由,可得,这个数字超过，麦粒的总质量超过7000亿吨，约是2016~2017年度世界小麦产量的981倍，国王显然不可能实现他的诺言. 设计意图：利用推导出来的公式解决开头的问题，符合学生认知规律.结论能让学生感受到指数爆炸式增长的“威力”