4.2.2-2 等差数列前n项和公式（二）课时教学设计（淮冰会）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 第4课时 等差数列前n项和公式（二） （一）教学内容 等差数列前n项和公式的简单应用． （二）教学目标 1.通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，进一步巩固等差数列前n项和公式的应用，发展数学建模和数学运算素养； 2.通过解决具体实例，学会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究Sn的最值问题，进一步体会函数与数列的联系和区别． （三）教学重点及难点 教学重点 等差数列前n项和公式的简单应用 （四）教学过程设计 问题1 你能默写等差数列的定义式、通项公式（两种形式）和前n项和公式（三种形式）吗？ 师生活动：学生默写，老师抽样展示，学生纠错. 设计意图：检查学生对等差数列相关知识的掌握情况，为后续这些知识的应用做好准备. 问题2： 用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？ 师生活动：（1）提问学生，通过生生补充，得到如下的答案： 数学问题 实际问题 数学问题的解 实际问题的解 （2）例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第二排起后一排比前一排多2个座位，问第一排应安排多少个座位？ 追问1：先完成下列表格后，然后你能试着写出例8转化后的数学问题吗？ 实际问题 数学问题 容纳800个座位 报告厅共有20排座位 从第二排起后一排比前一排多2个座位 第一排应安排多少个座位？ 学生独立完成，然后抽样，师生进行点评，得到如下的答案： 实际问题 数学问题 容纳800个座位 S20=800 报告厅共有20排座位 n=20 从第二排起后一排比前一排多2个座位 等差数列{an}，d=2 第一排应安排多少个座位？ a1=？ 例8转化后的数学问题：已知等差数列{an}，d=2，前20项和S20=800，求a1． （3）追问2：求解此数学问题的依据是什么？并完成它的求解过程． （4）追问3：在上述求解的基础上，再增加哪些内容，才能作为例8的解答过程？ 前面加上实际问题转化为数学问题的过程，最后还要解释数学问题的解的实际意义． （5）教师或者学生展示例8完整的求解过程． 设计意图：首先带领学生梳理用数学方法解决实际问题的步骤，让后续整个求解过程是“有意识”地进行，充分感受数学建模的思想．通过完成表格以及叙述转化之后的数学问题，将实际问题转化为数学问题的过程显性化，让学生逐步学会用数学的眼光看待问题． 问题3：完成例9，思考如何求等差数列中Sn的最值？ 师生活动：（1）教师出示例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． （2）追问1：请同学们依次列举a1，a2，a3，a4，…，并算出S1，S2，S3，S4，…，你能发现Sn有什么规律？ 通过列举，学生可以发现从S1到S4，Sn递增． （3）追问2：从S1到S4，Sn为何递增？ 因为Sn=Sn-1+an，从a1到a4都大于0，所以Sn>Sn-1. 教师点评：an就是Sn-1到Sn的增量．如果an大于0，Sn就增大；如果an小于0，Sn就减小． （4）追问3：Sn是否一致递增？为什么？ 不是．因为d<0，数列{an}是递减数列，当an减小到不大于0时，Sn就不再递增了． （5）追问4：哪些项的和是Sn的最大值呢？如何求得Sn的最大值呢？ 所有正数项的和就是Sn的最大值．只需求出当n为何值时，an大于0 即可． （6）追问5：依据什么来求解当n为何值时，an大于0 ？ 依据等差数列的通项公式． （7）学生完成例9的解答，教师点评更正，规范求解过程． （8）追问6：总结一下，你是如何求得等差数列中Sn的最大值的？ 学生总结，老师板书：利用等差数列通项公式得出an的正负分界点，则从第一项到正负分界点处各项的和即为Sn的最大值或最小值．若d<0，就是最大值；若d>0，就是最小值． （9）追问7：你还有其他方法研究Sn的增减情况，从而得到它的最值吗？ 学生回答：将Sn看作n的函数，利用函数的单调性求解. （10）学生自主完成解法2，教师抽样点评． （11）追问8：你发现用函数的方法解决数列问题一定要注意什么？ 注意自变量的取值范围是正整数． （12）追问9：总结一下，你是如何用函数法求得等差数列中Sn的最大值的？ 利用等差数列的前n项和公式，借助二次函数的图象和性质进行求解，一定要注意函数的定义域为． （13）追问10：将例9中的“d=－2”改为“d=－3.5”，Sn有最大值吗？若存在，求出最大值及取最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 学生自主完成两种求解方法，得到当n=3时，Sn有最大值19.5． （14）综上，有两种方法可以求得