4.2.2-1 等差数列前n项和公式（一）课时教学设计（刘云）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 课时教学设计 等差数列前n项和公式（一） 博雅实验学校 刘云 （一）教学内容 等差数列前n项和。 （二）教学目标 1）通过生活经验和直观感知，能获得等差数列前n项和的推导思路，理解公式的推导过程，培养逻辑推理、数学运算的核心素养； 2）通过等差数列中的一些条件，会利用等差数列的通项公式、性质以及等差数列前n项和公式求一些未知量。 (三)教学重点、难点 教学重点：等差数列前n项和； 教学难点：等差数列前n项和公式推导的思路及理解。 （四）教学过程 问题1：印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 师生活动： 1）教师展示印度泰姬陵相关图片，并提出问题。 2）学生分析得出题中问题其实就是求1+2+3+…+100=？的问题。 3）给学生思考的时间，征集学生的解法，并请部分同学发言讲解思路，其他同学总结发言同学的思路，教师引导得出它的首尾对应项相加都等于101的结论。 4）教师播放小视频或口述讲解高斯算法。 5）教师指出这其实就是等差数列1，2，3，…的前100项求和的问题，也是我们今天要讨论的主题。 追问1：大家听说过少年高斯的故事吧，他是如何解决这个问题的？ 追问2：求1+2+3+…+100+101=？还能用上述方法吗？ 设计意图：通过历史故事的引入，从学生熟悉的处理问题的方法入手，激发学生的兴趣和自信，让学生体会数学与生活的联系，消除学生对数学的畏难情绪和枯燥感。 问题2：求1+2+3+…+n=？呢？ 师生活动：对于1+2+3+…+n=？需要分n是奇数和偶数两种情况。当n为偶数时，刚好有项(1+n)；当n为奇数时，有项(1+n)，还有正中间一项是，加起来依然是。 追问：不管为奇数还是偶数，结果都是，既然这样，有避开分类讨论的方法么？怎样出现首尾两项的和？ 设计意图：设置冲突，启发学生思考解决问题的新办法，培养学生的发现意识，引导学生进行分类讨论，通过问题的解决，引入“倒序相加”的方法，让学生体会从特殊到一般的思想。 问题3：对于一般的等差数列，如何去求它的前n项和？即。M M 师生活动： 1）有问题2的“倒序相加法”的启示，我们也可以把前n项和写成：。 2）问题的关键是有没有 3）利用等差数列的性质，在等差数列中，如果，则有，所以可以得到： 所以得到等差数列前n项和公式： 设计意图：引导学生倒序相加法推导出等差数列前n项和公式，并让学生理解，倒序相加法的关键是倒序相加后每项和要相等，从而引导学生学会知识迁移，可以利用等差数列的性质解决这一问题，让学生再一次体验从特殊到一般的思想。 问题4：我们能否用等差数列的定义结合倒序相加法来推导出等差数列前n项和公式？ 师生活动： 1） 所以得到等差数列前n项和公式： 2） 3） 把通项公式代入，可得到，反之，由通项公式得，代入，可得到。 追问1：既然定义是本源，我们能否试试用等差数列通项公式来推导等差数列前n项和公式？ 追问2：等差数列前n项和公式的两种形式有什么特征？这两者之间如何互相转化？ 设计意图：将问题化归到用等差数列的定义去解决，让学生充分认识到定义是本质，培养学生化归思想，将知识之间的联系展现各更透彻；让学生通过不同的方法，从不同的角度参与公式的形成过程，提高兴趣，体验成就感，培养学生思维的灵活性，也为后面等比数列前n项和奠定基础；通过对比等差数列前n项和的两个公式特征，培养学生细致的观察能力，更深层次地对公式进行剖析，找到量与量之间的关系，便于后期对公式的灵活运用，培养学生等价转化的能力和逆向思维的能力，进一步让学生清晰公式形成的来龙去脉。 问题5：你能否求出下列问题的答案： ①已知数列是等差数列. （1）若，求. （2）若，求. （3）若，求. ②已知一个等差数列的前10项和是310，前20项的和是1220。由这些条件 ，你能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 师生活动： 1）教师与学生一起审题并分析，请学生谈解题思路并板演，其也学生评价； 2）对于第1小题，可以直接利用公式求和； 3）第2小题，可以先利用和的值求出，再利用公式求和； 4）第3小题已知公式中的和，解方程即可求解. 追问1：你是否还能想到其他的解法？ 追问2：对于等差数列的相关量，已知几个量就可以确定其他量？ 设计意图：培养学生直接运用公式计算的能力和方程思想的运用，通过一题多解，培养学生发散思维能力。 【课堂小结】 问题6： 1） 等差数列前n项和公式是如何推导的？ 2）