4.2.1-2 等差数列的概念（二）课时教学设计（蒙丽）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

4.2.2等差数列(第二课时） （一） 教学内容 1.等差数列的实际应用问题 2.推导等差数列的性质 （二）教学目标 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算。 （三）教学重点及难点 1.重点：等差数列的应用 2.难点:构造等差数列，等差数列的性质的推导。 （四）教学过程设计 问题1:同学们，上节课我们学习了等差数列的概念及通项公式，请大家回忆一下？举个例子？ 师生活动：可以让几个学生回答，大家判断一下举的是不是等差数列。 设计意图：问题是为了让学生回顾所学的数列概念及公式，明确等差数列的要求。 接下来我们将用这些知识解决一些问题。 例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 问题2：经过一年，设备的价值变为多少？第二年？第三年呢？ 时间 设备价值 经过一年 经过二年 经过三年 学生独立完成，然后抽样，师生进行点评，完成表格。 时间 设备价值 经过一年 a1-d 经过二年 a1-2d 经过三年 a1-3d 追问1：设备价值是否构成等差数列？为什么？ 可以让几个学生回答，大家判断一下是不是等差数列。 分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}，首项是a1＝220－d，公差为-d. 追问2：等差数列的通项是什么？ 追问3：这台设备第10年的价值应是多少？满足什么条件？第11年呢？ 师生活动：由学生们分组讨论得出结果。 由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，由此可以利用{an}的通项公式列不等式求解。 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an＝an-1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝220－d， 所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即：解得19<d≤20.9 所以，d的求值范围为19<d≤20.9 设计意图：通过解决具体实例，学会将实际问题转化成一个等差数列问题，并且能构造等差数列来刻画它。从而能利用等差通项解决数列问题。教学中应注意引导学生类比建立函数模型刻画现实世界的变化规律，再利用函数的性质解决问题的过程，经历建立等差数列模型解决实际问题的过程，学生可能认为没有必要构造数列，在解题中也可能因为没有设定数列的首项，致使后面不能准确地运用给出的条件列出不等式组，教学中要让学生完整地经历将实际问题中的等差关系转化为等差数列的过程，使学生养成严密思考的良好习惯。 例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn} 的通项公式. (2) b29 是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是 ，请说明理由. 问题1:a1 ，a2分别是新的等差数列{bn}的第几项？ 追问1：能否由问题1的结果推出等差数列{bn}的通项公式？ 于是，. 即，所以. 所以，. 则数列的通项公式为. 追问2：b29 是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是 ，请说明理由. 所以. 由已知，. 令，得. 所以是数列中的第8项. 追问3：对于第（2）小题，你还有其他解法吗？ 数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些项的下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则. 令，解得. 所以是数列中的第8项. 设计意图：引导学生用两种方法解决此题，拓宽学生的解题思路，加深学生对等差数列的概念及性质的理解。发展学生逻辑推理，数学运算的核心素养。 追问4：如果插入个数，那么的公差是多少？ 给出三个问题引导： 1.若每两项中间插入1个数，公差是多少？ 2.若每两项中间插入2个数，公差是多少？ 3.若每两项中间插入4个数，公差是多少？ 引导学生在完成三个问题后，能够找到其中的规律，用不完全归纳的方法自主完成变式问题。 （因为， 所以，即. 所以.） 设计意图：由特殊到一般，降低了学生的理解难度，也让学生进一步理解等差的公差的概念，从而加强对等差数列的认识。 例5. 已知数列是一个等差数列，，且.求证. 问题1:如何证明以上结论？回顾上