专题02 三角形的全等六大重难模型（期末真题精选）-2022-2023学年八年级数学上学期期末分类复习满分冲刺（人教版）

专题02 三角形的全等六大重难模型 实战训练 一．一线三等角模型 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7） 试题分析：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CBD+∠DCB＝90°，再利用旋转的性质可得CB＝BA，∠CBA＝90°，然后利用平角定义可得∠CBD+∠ABO＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠ABO＝∠DCB，进而可得△BOA≌△CDB，最后利用全等三角形的性质可得CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，从而求出DO＝7，即可解答． 答案详解：解：过点C作CD⊥y轴，垂足为D， ∴∠CDB＝90°， ∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°， ∵点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 由旋转得： CB＝BA，∠CBA＝90°， ∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， ∵∠CDB＝∠AOB＝90°， ∴△BOA≌△CDB（AAS）， ∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4， ∴DO＝DB+OB＝4+3＝7， ∴点C的坐标是（3，7）， 所以选：D． 2．已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点M的坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M的坐标为（　　） A．（b，a） B．（﹣a，b） C．（﹣b，a） D．（﹣a，﹣b） 试题分析：先确定此时点M对应的位置即点M所在的位置，如图，过点M，M′分别作ME⊥x轴于点E，MF⊥x轴于点F，证明△M′OF≌△OME，得到M′F＝OE＝a，OF＝ME＝b，由此求解即可． 答案详解：解：∵正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°， ∴旋转8秒恰好旋转360°． ∵2022÷8＝252……6， ∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次． ∵6×45°＝270°， ∴此时点M对应的位置即点 M’所在的位置， 如图．过点M，M'分别作ME⊥x轴于点E，M'F⊥x轴于点F， ∴∠M′FO＝∠OEM＝90°， ∴∠EOM+∠EMO＝90°， ∵四边形OBCD是正方形， ∴∠BOD＝90°， ∴∠FOM′+∠MOE＝90°， ∴∠M′OF＝∠OME． 在△M′OF和△MOE中， ， ∴△M′FO≌△OEM（AAS）， ∵点M的坐标为（a，b）， ∴OF＝ME＝b，M′F＝OE＝a． 又点M′在第二象限， ∴旋转2022秒后，点M的坐标为（﹣b，a）． 所以选C． 3．问题提出 在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D，E分别在边AB，AC上（不同时在点A），连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，探究AF与BC的位置关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图1，点D，E分别与点B，C重合，直接写出AF与BC的位置关系； （2）再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图3，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AB的中点，点E在边AC上，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，点G是点C关于直线AB的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值． 试题分析：（1）先证CF∥AB，再证AB＝CF，则四边形ABCF是平行四边形，即可得出结论； （2）过E作EM⊥AC交AB的延长线于点M，证△AEF≌△MED（SAS），得∠EAF＝∠EMD＝45°，则∠EAF＝∠BCA，即可得出结论； （3）连接AF、CF，过E作EG⊥AB于点G，延长GE交CF于点H，证四边形ABCF是正方形，得AB∥CF，∠BCF＝90°，∠ACF＝45°，再证△EFH≌△DEG（AAS），得EH＝DG，然后证△ECH是等腰直角三角形，得EH＝CH，进而得AG＝3BG，即可解决问题． 答案详解：问题探究 （1）解：AF∥BC，理由如下： 由旋转的性质得：∠DEF＝90°，DE＝FE， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， ∴CF∥AB， ∵AB＝BC， ∴AB＝CF， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∴AF∥BC； （2）证明：如图2，过E作EM⊥AC交AB的延长线于点M， 则∠AEM＝90°， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴ME＝AE，∠AME＝45°， 由旋转的性质得：FE＝DE，∠DEF＝90°， ∴∠DEF＝∠AE