第01讲 集合与常用逻辑用语-【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（人教A版2019）

第01讲 集合与常用逻辑用语 【学习目标】 1、正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法． 2、理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法． 【考点目录】 考点一：集合的含义与表示 考点二：集合的基本关系 考点三：集合的基本运算 考点四：含参数的集合问题 考点五：充分与必要条件 考点六：全称量词与存在量词 【基础知识】 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点三．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点四．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：AB（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点五．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 知识点六：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 4、集合基本运算的一些结论 ，，，， ，，，， ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 知识点七：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点八：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真