1.3.3 等比数列的前n项和-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

1．3　等比数列 1．3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 第1章　数列 课程标准：1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 教学重点：等比数列的前n项和公式及其相关性质． 教学难点：应用等比数列的前n项和公式及其相关性质解决问题． 核心素养：1.通过学习等比数列前n项和公式及其应用，提升数学运算素养和逻辑推理素养.2.通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升数学建模素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE q q × √ × × 211 248 2 核心素养形成 PART TWO 解 题型一 等比数列前n项和的基本计算 解 解 等比数列思想方法的应用 (1)方程思想：等比数列中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现． (2)分类讨论思想：由等比数列前n项和公式、an与Sn的关系等知识可知，解答数列问题时常常要用到分类讨论思想． 特别注意：等比数列前n项和的计算，要优先讨论公比q＝1的情况． [跟踪训练1]　(1)在等比数列{an}中，S3＋S6＝2S9，则公比q＝_______. 答案 解析 答案　2n－2 答案 解析 (3)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________. 答案　3 答案 解析 例2　(1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求此数列的通项公式． 解 题型二 等比数列前n项和性质的应用 解 (2)在等比数列{an}中，若前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求前30项和S30. 解 解 [变式探究]　本例(2)中条件不变，能否求a21＋a22＋…＋a30的值呢？ 解　由题可知a21＋a22＋…＋a30＝S30－S20，由例题可知S30＝70，S20＝30，所以a21＋a22＋…＋a30＝70－30＝40. 等比数列前n项和性质的应用 等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法． 解 [跟踪训练2]　(1)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． 解 (2)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项和S99＝56，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． 解 例3　某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益．据测算，首日参与活动人数为10000，以后每天人数比前一天都增加15%,30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1，收益精确到1元)． (1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； (2)活动开始第几天后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 题型三 等比数列前n项和的实际应用 解 解 解数列应用题的注意点 在数列的实际应用中，把数学问题背景中的数列知识挖掘出来(投入资金数列和收入资金数列)，然后用数列的知识进行加工和整理是常见的解题方法，应注意合理安排，解题中要明确数学问题的实际意义，以便进行合理取舍． [跟踪训练3]　某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b，以后学生人数的年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备． (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应淘汰的旧设备是多少套？ (2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.00499≈1.04 1.110≈2.60 1.004910≈1.05 1.111≈2.85 1.004911≈1.06 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 2．若数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a(a为常数)，则数列{an}(　　) A．是等比数列 B．仅当a＝－1时，是等比数列 C．不是等比数列 D．仅当a＝0时，是等比数列 答案 解析 3．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a