第一章 数列 章末复习-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

章末复习 第1章　数列 1 知识系统整合 PART ONE 堵点自记：____________________________ ____________________________________________________________________________________ 2 规律方法收藏 PART TWO 5．等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是它们的重要基本公式，对这两个公式要用方程思想、函数思想并从变形与发展的角度去深刻认识． 6．解等差、等比数列的综合题必须牢固掌握基础知识、基本技能和基本题型，并且要灵活运用这些知识，善于将综合题分解为几个基本题．解等差、等比数列的应用题，关键是将抽象的文字语言转化为数学语言，应用数列的定义、公式及性质加以解决．这就要求能真正理解题意、理清其脉络，从纷繁复杂的实际问题中发掘出其本质特征． 7．应用数列知识解应用题，应首先读懂题意，然后建立数学模型，最后求解、回答． 8．数列{an}为等差数列的充要条件 (1)数列{an}是等差数列⇔an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)； (2)数列{an}是等差数列⇔2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N＋)； (3)数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q是与n无关的常数)； (4)数列{an}是等差数列⇔a1＋a2＋…＋an＝An2＋Bn(A，B为常数)． 9．等差数列与等比数列的转换 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}(a>0，a≠1)是等比数列； (2)若数列{an}是等比数列，则数列{lg |an|}是等差数列． 10．数学归纳法的运用关键在于对归纳原理的深刻理解. 3 学科思想培优 PART THREE 一、数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种： 1 观察归纳法求数列的通项公式 就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式． 解 解 解 5 构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式) 若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式． [典例4]　数列{an}中，an＋1＝2an＋1，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [解]　解法一：由an＋1＝2an＋1， 设an＋1＋k＝2(an＋k)，∴an＋1＝2an＋k， ∴k＝1， ∴{an＋1}为等比数列． 又a1＋1＝2，公比为2， 解 ∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1. 解法二：(迭代法) an＝2an－1＋1＝2(2an－2＋1)＋1＝22an－2＋2×1＋1＝23an－3＋22×1＋2×1＋1＝…＝2n－1a1＋(2n－2＋2n－3＋…＋2＋1)＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1. 解法三：(累加法) 由an＋1＝2an＋1，an＝2an－1＋1， 得an＋1－an＝2(an－an－1)(n≥2)． 故{an＋1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，即an＋1－an＝2·2n－1＝2n， 利用累加得an＝2n－1. 解 解 [典例5]　在数列{an}中，已知a1＝2且an＋1＝4an－3n＋1，求数列{an}的通项公式． 解 [典例6]　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝2，求数列{an}的通项公式． 解 二、以数阵为背景的数列问题 1 数阵的特点 所谓数阵是指将某些数，按一定的规律排成若干行和列，形成图表，也称之为数表．数阵不仅有正方形、三角形，还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至几种图形的组合，变幻多样、对称性强，很能吸引人．在我们平常解题中最常见的是前两种． 2 以数阵为背景的数列问题 数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列，比较多见的是排成等差或等比数列，它重点考查等差、等比数列的相关知识，有时也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是找出其中的规律，这就要求考生要有较强的观察、归纳、猜想能力以及对数列知识的融合迁移能力，下面举例谈一下它的几种题型． [答案]　n2－n＋1，n2－n＋3，n2－n＋5，…，n2－n＋(2n－1) 题型一　求数阵所暗示的规律(即通项公式) [典例8]　如下图的数阵，则第n行的数从左到右依次是__________. [解析]　设第n行左边第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝a1＋2×1，a3＝7＝a2＋2×2，…，an＝an－1＋2(n－1)．累加得an＝n2－n＋1，故第n行的数从左到右依次是n2－n＋1，