2.5.1 圆的标准方程-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

2．5　圆的方程 2．5.1　圆的标准方程 第2章　平面解析几何初步 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 教学重点：1.圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程． 教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题． 核心素养：1.通过探究圆的标准方程及点与圆的位置关系，培养直观想象素养和逻辑推理素养.2.通过根据已知条件求圆的标准方程，培养数学抽象素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 圆心 半径 点M在圆C上 圆C上 点M在圆C内 圆C内 点M在圆C外 圆C外 1．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 2．求圆的标准方程的常用方法 (1)几何法 利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解． 3．求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　　) (4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) × √ × × 2．做一做 (1)与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(　　) A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4 C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4 答案 (x＋1)2＋(y－3)2＝3 (－2,2) 5 点A在圆上 2 核心素养形成 PART TWO 答案 解析 题型一　对圆的标准方程的理解 (2)方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是________. [解析]　由m2－m－2>0，得m>2或m<－1. [答案]　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 解析 　　　 　　充分理解圆的定义以及圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中r>0，(a，b)为圆心，r为半径． [跟踪训练1]　(1)给定圆的方程(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为(　　) A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 解析　圆心为(2，－8)，原点为(0,0)，故所求的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0. 答案 解析 (2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称 解析　该圆的圆心(－a，a)在直线x＋y＝0上，故该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 答案 解析 例2　求过点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程． 解 题型二 　求圆的标准方程 解 [解法探究]　本例还有其他解法吗？ 解析 　　　　求圆的标准方程的两种方法 (1)确定圆的标准方程就是确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． (2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法． [跟踪训练2]　已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解　解法一：如图所示，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8， 解 设点C坐标为(a,0)， 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3. ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.