2.2.3 直线的一般式方程-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

2．2　直线的方程 2．2.3　直线的一般式方程 第2章　平面解析几何初步 课程标准：1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程.2.会进行直线方程几种形式间的转化． 教学重点：1.利用直线的几种形式解决相应的问题.2.直线的方向向量与法向量的应用． 教学难点：各种形式的相互转化及适用范围． 核心素养：通过学习直线的一般式方程、直线的方向向量与法向量，提升逻辑推理素养和数学抽象素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 一条直线 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 非零向量v 直线的方向 不唯一 (1，k) A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 ON⊥PQ (A，B) n＝(A，B) 1．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的． 2．二元一次方程Ax＋By＋C＝0的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． √ × × √ x－3y＋5＝0 (－3，－1)(答案不唯一) (－1,3)(答案不唯一) 2 核心素养形成 PART TWO 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A(2，－1)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. 题型一　求直线的一般式方程 解 2．不同条件下各种直线方程的选用 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． 解 解 例2　(1)已知直线l的方程为3x＋2y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，O是坐标原点，则△AOB的面积为________. [答案]　12 答案 解析 题型二　直线的一般式方程的应用 解 [跟踪训练2]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l恒过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围． 解 解 例3　(1)已知直线l经过点A(2,3)，B(－1，0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角． 解 题型三　直线的方向向量和法向量的应用 解 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析　由直线的一般式方程可知，要使方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0.故选D. 答案 解析 2．直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为(　　) A．(－1,4) B．(2,5) C．(5，－2) D．(－1，－4) 答案 解析 3．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 解析 答案 解析 5．求经过点A(－2,2)且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线的一般式方程． 解 4 课后课时精练 PART FOUR 一、选择题 1．直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点A(0,2)，则直线的方程为(　　) A．3x－y＋2＝0 B．3x＋y－2＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y－2＝0 解析　设点(x，y)为直线上不同于点A的任意一点，则直线的方向向量为v＝(x，y－2)，故v∥a，则有x×(－3)－(y－2)×1＝0，整理得3x＋y－2＝0，故选B. 答案 解析 答案 解析 3．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的一般式方程为(　　) A．15x－10y－6＝0 B．15x－10y＋6＝0 C．6x－4y－3＝0 D．6x－4y＋3＝0 答案 解析 答案 解析 5．(多选)直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2,1)，则倾斜角与直线