6.2.3 向量的数乘运算-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.2.3　向量的数乘运算 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算 2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力 1.数学抽象：实数与向量的积的定义 2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平行 3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计算 4.直观想象：共线向量定理 概念梳理 1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下： ①||＝||||； ②当>0时，的方向与的方向相同； 当<0时，的方向与的方向相反。 ③由①可知，当＝0时，＝0； 由①②知，(－1) ＝－。 (2)运算律：设，为任意实数，则有： ① ()＝() ； ②(＋) ＝＋； ③ (＋)＝λ＋； 特别地，有(－) ＝－()＝ (－)； (－)＝－。 (3)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量。对于任意向量，，以及任意实数，μ1，μ2，恒有 (μ1±μ2 )＝μ1±μ2 。 2．共线向量定理 向量 (≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使＝。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。 【概念辨析】 (1) 实数与向量可以相乘, 但不能相加减. 如:2+,1-0 无意义． (2) 当 时, ; 当 时, . (3)结合律的几何意义是将表示向量的有向线段先伸长或压缩 至原来的倍, 再伸长或压缩至其倍, 与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的倍所得的结果相同. 第一分配律的几何意义是将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的 倍, 与将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的倍后, 再与将表示向量的有向线段伸长或压 缩至原来的倍相加, 所得到的结果相同. (4)第二分配律的几何意义是将表示向量的有向线段先相加, 再伸长或压缩至原来的倍, 与将表示向量的有向线段都伸长或压缩至原来的倍后再相加, 所得的结果相同. 根据向量共线定理，设非零向量位于直线上, 那么对于直线上的任意一个向量, 都存在唯一的一个实数 , 使 . 也就是说, 位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 定理本身包含了两个方面 (1) 判定定理: 若存在一个实数 , 使 , 则与共线; (2) 性质定理: 若与共线 , 则必存在一个实数, 使 . 3. 若 不共线, 且 , 则必有 . 回归教材 1.任画一向量, 分别求作向量. 【解析】 2. 点 在线段 上, 且 , 则 【解析】答案 3. 把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【解析】(1) . (2) .(3) .(4) . 4. 判断下列各小题中的向量与是否共线: (1) ; (2) . 【解析】(1) 因为, 所以共线. (2) 因为, 所以共线. 5. 化简： (1) ; (2) ; (3) . 【解析】(1) 原式 . (2) 原式 . (3) 原式 . 6. 已知是两个不共线的向量, . 若与是共线向量, 求实数的值. 【解析】与是共线向量, 存在实数, 使, 即 . 题型讲解 探究（一）向量的线性运算 【典例1】①化简． 【解析】＝＝＝0＋0＝0. 答案：0 ②若，求． 【解析】.由已知得 所以，所以. 答案： 【方法总结】向量线性运算的方法 (1) 几何意义法 依据向量加法、减法和数乘运算的几何意义, 直接作图. (2) 类比法 向量的线性运算类似于整式的运算,例如: 去括号、移项、合 并同类项、提取公因式等变形手段同样适用, 但是这里的 “同类项”“公因式”是指向量, 实数看作是向量的“系数”. (3) 方程法 向量也可以通过列方程来求解, 把所求向量当作末知 数, 利用解方程的方法求解, 同时在运算过程中多注意 观察, 恰当地运用运算律, 简化运算. 【补充训练1】化简6(－＋)－4(－2 ＋)－2(－2 ＋)，正确的是（ ） A. 2 ＋4 B. 4 ＋2 C. 2 ＋6 D. 6 ＋2 【解析】原式＝6 －6 ＋6 －4 ＋8 －4 ＋4 －2 ＝(6 －4 ＋4 )＋(8 －6 )＋(6 －4 －2 )＝6 ＋2 。故选D 【补充训练2】已知＝，若＝λ，则λ等于________． 【解析】　因为＝，所以－＝(＋)，即＝－＝λ， 所以λ＝－. 【补充训练3】（多选）已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的为(　　)