6.2.2 向量的减法运算-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.2.2　向量的减法运算 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用 2.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义 3.会求两个向量的差 4.培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想 1.数学抽象：向量减法的定义 2.逻辑推理：向量减法的法则 3.数学运算：求两个向量的差 4.直观想象：向量减法的几何意义 概念梳理 1． 相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量 特别的： 1 对于相反向量有：＋(－)＝0 2 若，互为相反向量，则＝－，＋＝0 ③零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的减法 (1)定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法。 －＝＋(－)，减去一个向量就相当于加上这个向量的相反向量。 (2)几何意义：－表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。 3 .向量减法的几何意义 (1) 如图 6-2-14 (1), 设 , 连接 , 由向量减法的定义知 . 在四边形 中, 且, 所以 是平行四边形. 所以 . 图 6-2-14 (2) 三角形法则 :, 已知向量 , 在平面内 任取一点 , 作 , 则 . 即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量, 这是向量减法的几何意义 . (3) 记忆口诀: “共起点, 连终点, 指向被减向量”. 【概念辨析】 （1）两个向量的差仍是一个向量. (2) 向量的减法实质上是向量的加法的逆运算, 也可以用作向量加法的方法作向量的减法. (3)两个向量的减法运算法则是三角形法则, 该法则的画法是将两个向量的起点平移到一个点 (共起点), 然后连接两个终点(连终点), 再加上代表方向的箭头, 方向指向被减向量(指向被减). (4) 设 是任一向量, 是平面内任一点, 则 . (5)如图 6-2-19, 当 不共线时, 作 , 则 . 则 (三角形两边之差小于第三边, 两边之和大于第三边). （6）当 共线且同向时, 若 , 则 与 同向, 且 ; 若 , 则 与 反向, 且 . （7）当 共线且反向时, 与 同向, 与 反向, 且 . 图 6-2-19 综上所述, 对于任意两个非零向量, 总有以下向量不等式成立: 回归教材 1.如下页图，在各小题中，已知，，分别求作 【解析】 2. 填空: ; ; ; ; ; 【解析】答案 3. 作图验证: . 【解析】当 其中有一个为 时, 显然成立; 当 不共线时,作图如图 1 所示,显然 ; 当 共线时, 作图如图 2 所示, 显然 . 题型讲解 探究（一）向量减法运算及其几何意义 【典例1】如图，解答下列各题： ①用，表示； ②用，表示. 【解析】①＝－＝－－＝－－. ②＝－＝－(＋)＝－－. 【方法总结】作两个向量的差的两种方法 (1)用向量减法的三角形法则 (1)步骤 (2)口诀: 共起点, 连终点, 指向被减. (2)用向量减法的定义 根据 转化为向量加法运算, 再作图. 【补充训练1】如图，在△ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是( ) A． B． C． D． 【解析】选C. ，是相反向量，它们的和是零向量，但. 【补充训练2】如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝，＝，＝，则： | ＋＋ |＝________； 【解析】由已知得＋＝＋＝，因为＝，所以延长AC到点E，使||＝||。则＋＋＝，且||＝2。所以| ＋＋ |＝2。 【补充训练3】（多选）如图，在四边形中，设，，，则不等于（ ） A． B． C． D． 【解析】. 故选ACD 【方法总结】求作向量的差向量的两种思路: (1)转化为向量的加法来进行, 如 , 可以先作 , 然后 作 即可; (2)直接用向量减法的三角形法则, 即把两向量的起点重合, 则差向量为连接两个向量的终点, 指向被减向量终点的向量; (3) 向量加、减法化简的两种形式; 1：首尾相连且为加号; 2：起点或终点相同且为减号. 做题时要注意观察是否有这两种形式, 同时要注意逆向应用. 探究（二）向量减法的运算律 【典例2】①化简：(＋)＋()； ②化简：() (). 【解析】①：原式＝＝()＋()＝. ②方法一：原式＝＝＋＝(＋)＋(. 【方法总结】向量减法运算的常用方法 1：可以通过相反向量，把向量的减法运算转化为向量的加法运算 2：运用向量的减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点 3：引入点