6.2.1 向量的加法运算-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.2.1　向量的加法运算课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.理解向量加法的意义 2.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则 3.理解向量的运算律 4.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识 1.数学抽象：向量的加法 2.逻辑推理：向量的加法法则 3.数学运算：求向量的和 4.直观想象：向量加法的集合意义 概念梳理 1．向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算。 (2)运算法则： 向量求和 的方法 图示 几何意义 向量加法的三角形法则 已知非零向量，b，在平面内取任意一点A，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作＋，即＋＝＋＝ 向量加法 的平行四 边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量，，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量 (OC是▱OACB的对角线)就是向量与的和 (3)规定：对于零向量与任意向量，规定。 (4)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。 (5)一般地，我们有|＋ |≤||＋| |，当且仅当，方向相同时等号成立。 2．向量加法的运算律 (1)交换律：＋＝＋ (2)结合律：＋(＋)＝(＋)＋ 【概念辨析】 1. 三角形法则 适用条件: 任意两个非零向量, 包括共线的非零向量和不共线的非零向量 . 记忆口诀: 首尾相连,连首尾. “首尾相连”: 构造三角形时, 第一个向量的终点与第二个向量的起点重合. “首指尾为和”: 以第一个向量的起点为起点并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和. 2.平行四边形法则 适用条件: 只适用于两个不共线的向量求和. 说明: 当两非零向量共线时, 不适用加法的平行四边形法则. 记忆口诀: 共起点作平行四边形, 共点对角线为和. “共起点”: 以同一点为起点的两个向量为邻边作平行四边形. “共点对角线为和”: 平行四边形共起点的对角线表示的向量 就是两已知向量的和向量. 3.和向量的三角不等式形式 当 不共线时, ( 三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边), 如图 6-2-11 (1) 当同向共线时, , 如图 6-2-11（2）; 当反向共线时, , 如图 6-2-11 (3). 6-2-11 1) 6-2-11（2） 6-2-11 (3) 回归教材 1.如图, 在下列各小题中, 已知向量 , 分别用两种方法求作向量 . (1) (2) (3) (4) 【解析】 （1） （2） （3） （4） 2. 当向量 满足什么条件时, （或 )？ 【解析】当与共线且方向相反时 3. 根据图示填空: (1) (2) (3) (4) 【解析】答案 （1） （2） （3） （4） 4. 如图, 四边形是平行四边形, 点在上, 判断下列各式是否正确（正确的在括号内打 “ ", 错误的打 “ ). (1) . （ ） (2) . （ ） (3) . （ ） 【解析】答案 (1) (2) (3) 5. 有一条东西向的小河, 一艘小船从河南岸的渡口出发渡河. 小船航行速度的大小为, 方向为北偏西, 河水的速度为向东, 求小船实际航行速度的大小与方向. 【解析】如图,设 表示小船的速度, 表示 河水的速度, 以 为邻边作平行四边形 , 则 就是小船实际航行的速度. 由已知条件可得 小船实际航行速度的大小为 , 方向与河水的速度间的夹角为 . 题型讲解 探究（一）向量加法运算及其几何意义 【典例1】（1）如图，已知正方形ABCD，＝，＝，＝，试作向量. 【解析】由已知得＝＋＝， 又＝，所以延长AC至E，使||＝||，则＝，即所求，如图． （2）如图 6-2-20 所示, 已知向量 , 试作出向 量 . 6-2-20 【解析】作法 1 : 如图 6-2-21 (1) 所示, 在平面内任取一点 , 作向量 , 则向量 ; 再作向量 , 则向量 即为所求. 作法 2：如图 6-2-21 (2) 所示, 在平面内任取一点 , 作向 量 , 以 为邻边作 , 连接 , 则 . 再以 为邻边作 , 连接 , 则 即为所求.