增分专练（二）三角恒等变换、解三角形（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

增分专练(二)　三角恒等变换、解三角形 A级　基础达标 一、单项选择题 1．已知tan α＝－3，α是第二象限角，则sin＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　因为tan α＝－3，α是第二象限角，所以cos α＝－。所以sin＝cos α＝－。故选A。 答案　A 2．若sin x＝3sin，则cos xcos＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为sin x＝3sin，所以sin x＝－3cos x，所以tan x＝－3，所以cos xcos＝－sin xcos x＝＝＝。 答案　A 3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝(　　) A．2 B． C．2 D．3 解析　由题意A＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理＝，得b＝＝＝2。故选C。 答案　C 4．(2021·贵阳市适应性考试)已知sin＝，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　根据题意知cos＝cos＝sin＝。 答案　B 5．(2021·南京市三模)计算所得的结果为(　　) A．1 B． C． D．2 解析　＝＝＝＝。故选C。 答案　C 6．已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝(　　) A．7 B． C． D． 解析　因为θ∈，所以θ＋∈，即θ＋为第二象限角，又sin＝，所以cos＝－＝－，所以tan＝＝－，所以tan θ＝tan＝＝＝＝7。故选A。 答案　A 7．如图，小明同学为了估算某建筑物的高度，在该建筑物的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、该建筑物顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得该建筑物顶C的仰角为30°，则小明估算该建筑物的高度为(　　) A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m 解析　在直角三角形MBA中，MA＝＝＝＝30。在△MAC中，∠CMA＝180°－60°－15°＝105°，∠MAC＝30°＋15°＝45°，∠MCA＝180°－105°－45°＝30°，MA＝30，由正弦定理＝，得＝，解得MC＝60，在直角三角形MDC中，DC＝MC·sin∠CMD＝60×＝30。故选D。 答案　D 8．(2021·合肥市质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析　由正弦定理可得a2＋2c2＝2bccos A，根据余弦定理得b2＋c2－2bccos A＋2c2＝2bccos A，整理得4bccos A＝b2＋3c2≥2bc，所以cos A≥，又A∈(0，π)，所以A≤。故选A。 答案　A 二、多项选择题 9．(2021·福建省诊断考试)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠(n∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论一定正确的是(　　) A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α＋β)＝1 C．sin2＋sin2＝1 D．sin2α＋cos2β＝1 解析　解法一：由条件得，＝tan α＋tan β，从而得到tan α＋tan β＝0，所以α＝kπ－β，k∈Z，即α＋β＝kπ，k∈Z，所以sin(α＋β)＝0，故A正确；对于B选项，cos(α＋β)＝cos(kπ)＝±1，故B错误；对于C选项，sin2＋sin2＝sin2＋sin2，当k为偶数时，sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝2sin2，故C错误；对于D选项，sin2α＋cos2β＝sin2(kπ－β)＋cos2β＝sin2β＋cos2β＝1，所以D正确。 解法二：由条件得，＝＋＝，所以sin(α＋β)＝0或cos(α＋β)＝cos αcos β，即sin(α＋β)＝0或sin αsin β＝0(舍)，故A正确；其余解法同解法一。 解法三：取α＝，β＝，则cos(α＋β)＝－1，故B错误，取α＝，β＝－，则sin2＋sin2≠1，故C错误。故选AD。 答案　AD 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<4，c＝7，且满足(2a－b)cos C＝ccos B，则下列结论正确的是(　　) A．C＝60° B．△ABC的面积为6 C．b＝2 D．△ABC为锐角三角形 解析　因为(2a－b)cos C＝ccos B，所以(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，所以2sin Acos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即2sin Acos C＝sin(B＋C)，所以2sin Acos C＝sin A。