增分专练（三）解三角形大题考向探究（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

增分专练(三)　解三角形大题考向探究 第一次作业　基础通关训练 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acos B＋2bcos A＝c2。 (1)求c的值； (2)若C＝，a＋b＝2，求△ABC的面积。 解　(1)由2acos B＋2bcos A＝c2及正弦定理，得2sin Acos B＋2sin Bcos A＝csin C， 所以2sin(A＋B)＝csin C， 因为A＋B＝π－C， 所以2sin(π－C)＝2sin C＝csin C， 又C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以c＝2。 (2)因为C＝，a＋b＝2， 所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝8－3ab， 解得ab＝， 所以△ABC的面积S＝absin C＝××＝。 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos B＝－。 (1)求c的值； (2)若D为BC边上的点，且AD＝，求∠ADB。 解　(1)由余弦定理可得cos B＝， 即－＝， 整理得c2＋2c－3＝0， 解得c＝1或c＝－3(舍去)， 所以c＝1。 (2)由cos B＝－， 可得sin B＝ ＝。 在△ABD中，由正弦定理知 ＝， 可得sin∠ADB＝。 又因为cos B＝－<0，所以<B<π， 所以0<∠ADB<， 所以∠ADB＝。 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,2c＝a＋2bcos A。 (1)求B； (2)若c＝7，bsin A＝，求b。 解　(1)由已知及正弦定理可得2sin C＝sin A＋2sin Bcos A， 所以2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋2sin Bcos A， 即2sin Acos B＝sin A， 因为sin A≠0，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝。 (2)在△ABC中，由正弦定理＝， 可得asin B＝bsin A＝， 由(1)知B＝，所以a＝2。 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝19，b＝。 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2＋b2－c2＝2S。 (1)求cos C； (2)若acos B＋bsin A＝c，a＝，求b。 解　(1)因为S＝absin C，a2＋b2－c2＝2S， 所以a2＋b2－c2＝absin C， 在△ABC中，由余弦定理得 cos C＝＝＝， 所以sin C＝2cos C， 又sin2C＋cos2C＝1， 所以5cos2C＝1，cos C＝±， 又C∈(0，π)，所以sin C>0， 所以cos C>0，所以cos C＝。 (2)解法一：在△ABC中，由正弦定理得 sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C， 因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bsin A＝cos Asin B， 又A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，sin A＝cos A，得A＝。 因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以sin B＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝。 在△ABC中，由正弦定理得 b＝＝＝3。 解法二：因为acos B＋bsin A＝c， acos B＋bcos A＝c， 所以acos B＋bsin A＝acos B＋bcos A， 即sin A＝cos A，又A∈(0，π)，所以A＝。 在△ABC中，由正弦定理得c＝＝＝2。 因为b＝ccos A＋acos C， 所以b＝2×＋×＝3。 5．(2021·南京市一模)在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C。 (1)求sin C的取值范围； (2)若c＝6b，求sin C的值。 解　(1)由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π得2B＋4C＝π， 所以B＝－2C，所以A＝＋C， 由得 得0<C<， 故sin C的取值范围为。 (2)若c＝6b，则由正弦定理得sin C＝6sin B　①， 由(1)知B＝－2C，则sin B＝sin＝cos 2C　②， 由①②得sin C＝cos 2C＝1－2sin2C， 所以12sin2C＋sin C－6＝0， 解得sin C＝或sin C＝－， 又sin C∈，所以sin C＝。 6．(2021·甘肃省诊断考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a－csin B＝bcos C。 (1)求角B的大小； (2)若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且________，求△AB