增分专练（五）数列大题考向探究（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

增分专练(五)　数列大题考向探究 第一次作业　基础通关训练 1．(2021·新高考全国Ⅱ卷)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2·a4＝S4。 (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值。 解　(1)设{an}的公差为d(d≠0)， 所以 解得所以an＝－4＋2(n－1)＝2n－6。 (2)Sn＝－4n＋·2＝n2－5n。 由Sn>an得n2－5n>2n－6， 所以n2－7n＋6>0，即(n－1)(n－6)>0， 所以n>6或n<1， 又n∈N*，故n的最小值为7。 2．(2021·东北三省四市联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，且a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)nan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求T2n。 解　(1)因为S5＝5a3＝25，所以a3＝5。 设数列{an}的公差为d，由a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列得(6＋d)2＝4(8＋4d)， 所以d2－4d＋4＝0，所以d＝2， 所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－1。 (2)因为bn＝(－1)nan＋1， 所以bn＝(－1)n(2n－1)＋1， 所以T2n＝(－1＋1)＋(3＋1)＋(－5＋1)＋(7＋1)＋…＋[－(4n－3)＋1]＋[(4n－1)＋1]＝4n。 3．(2021·南通市调研)已知等差数列{an}满足an＋2an＋1＝3n＋5。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列的前n项和为Sn，若∀n∈N*，Sn<－λ2＋4λ(λ为偶数)，求λ的值。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为an＋2an＋1＝3n＋5， 所以即 解得a1＝2，d＝1， 所以an＝2＋(n－1)＝n＋1。 经检验，an＝n＋1符合题设， 所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1。 (2)由(1)得＝＝－， 所以Sn＝＋＋…＋＝－<。 因为∀n∈N*，Sn<－λ2＋4λ， 所以－λ2＋4λ≥，即(λ－2)2≤。 因为λ为偶数，所以λ＝2。 4．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋3×2n＋1。 (1)证明数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。 解　(1)因为an＋1＝2an＋3×2n＋1， 所以－＝3， 即数列是首项为＝2，公差为3的等差数列，所以＝2＋(n－1)×3＝3n－1， 所以an＝(3n－1)·2n。 (2)由an＝(3n－1)·2n得 bn＝ ＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝－＝。 5．(2021·福州市质量检测)在①Sn＝2an＋1，②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1，③a＝anan＋2，S2＝－3，a3＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答。 问题：已知单调数列{an}的前n项和为Sn，且满足________。 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{－nan}的前n项和Tn。 解　(1)选①，即Sn＝2an＋1　(ⅰ)， 则当n＝1时，S1＝2a1＋1，故a1＝－1。 当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1　(ⅱ)， (ⅰ)(ⅱ)两式相减得an＝2an－1(n≥2)， 所以{an}为等比数列，其中公比为2，首项为－1。 所以an＝－2n－1。 选②，即a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1， 所以当n≥2时， log2(anan＋1)－log2(an－1an)＝2， 即＝4， 所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列， 其中首项为a1＝－1，公比为4， 所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1(k∈N*)。 由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2， 同理可得，a2k＝－2×4k－1＝－22k－1(k∈N*)。 综上，an＝－2n－1。 选③，即a＝anan＋2，S2＝－3，a3＝－4， 所以{an}为等比数列，设其公比为q， 则 解得或 又{an}为单调数列，所以q>0， 故所以an＝－2n－1。 (2)由(1)知，－nan＝n·2n－1， 所以Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1， 2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－2)·2n－2＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－n·2n＝(2n－1)－n·2n。 所以Tn＝(n－1)·2n＋1。 6．(2021·皖豫名校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋2an，在等差数列{bn}中，b1＝20，b3＝b5＋b9。 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列中项的最大值。 解　(1)因为Sn＝1＋2an，所以an≠0。 当n≥2时