解答题专项练（一）三角函数与解三角形（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

第二部分　大题·规范练 解答题专项练 (一)三角函数与解三角形 1．(2021·辽西联合校高三模拟)已知函数f(x)＝2sin＋4coscos。 (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的值域。 解　(1)f(x)＝2sin＋4coscos ＝2＋4×(cos x－sin x)×(cos x＋sin x) ＝sin 2x－cos 2x＋2cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 单调递减区间为，k∈Z。 (2)当x∈时， 2x＋∈， 可得－≤sin≤， 可得－1≤2sin≤， 故函数f(x)的值域为。 2．(2021·湖北襄阳高三联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。asin B＝bcos，______。 从①a＝7，②C＝，③a＝b这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。 (1)求A； (2)若c＝5，求b。 解　(1)因为asin B＝bcos， 所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos。 因为sin B≠0，所以sin A＝cos＝cos A＋sin A， 即tan A＝。 又因为0<A<π，所以A＝。 (2)选①a＝7。 在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍去)，所以b＝8。 选②C＝。 sin B＝sin(A＋C)＝sin ＝sincos＋cossin＝， 由正弦定理＝，得＝，解得b＝。 选③a＝b。 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得(b)2＝b2＋25－10bcos， 即2b2＋5b－25＝0， 解得b＝或b＝－5(舍去)， 所以b＝。 3．(2021·山东泰安高三模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，满足m∥n。 (1)求C； (2)若c＋3b＝3a，求sin A。 解　(1)因为m∥n，所以(c－a)(sin A＋sin C)＝(b－a)sin B， 由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b， 所以a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，故C＝。 (2)由(1)知B＝－A，由题设及正弦定理得sin C＋3sin ＝3sin A， 即＋cos A＋sin A＝sin A， 可得sin＝。 由于0<A<，－<A－<， 所以cos＝， 故sin A＝sin＝sincos＋cossin ＝×＋×＝。 4．(2021·安徽高三下学期开年考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csin A＋asin＝0，c＝6。 (1)求△ABC外接圆的面积； (2)若c＝b，＝，求△ACM的周长。 解　(1)因为csin A＋asin＝0， 所以csin A＋acos C＝0，由正弦定理得sin Csin A＋sin Acos C＝0， 因为sin A≠0，所以sin C＋cos C＝0，得tan C＝－， 又0<C<π，故C＝， 所以△ABC外接圆的半径R＝·＝×＝2， 所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π。 (2)由c＝6及c＝b，得b＝2， 所以sin B＝＝， 因为C＝，则B为锐角， 所以B＝，故A＝π－B－C＝。 如图所示，在△ACM中，由余弦定理得 CM2＝AM2＋AC2－2AM·AC·cos A＝22＋(2)2－2×2×2×＝4， 解得CM＝2，则△ACM的周长为4＋2。 5．(2021·福建福州高三期中)在①S△ABC＝2，②a－b＝1，③sin A＝2sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由。 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，csin A＝acos？ 解　因为csin A＝acos， 所以sin Csin A＝sin Acos， 又因为sin A≠0，所以sin C＝cos， 即sin C＝cos C＋sin C， sin C＝cos C，tan C＝， 又0<C<π，所以C＝。 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即a2＋b2－ab＝7， 选①。因为S△ABC＝absin C，所以ab＝8，所以(a－b)2＝a2＋b2－ab－ab＝7－8＝－1，与(a－b)2≥0矛盾， 所以满足条件的三角形不存在。 选②。因为a－b＝1，所以a2＋b2－2ab＝1，又a2＋b2－ab＝