第10讲 对数与对数函数（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（人教A版2019必修第一册）

第10讲 对数与对数函数 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：对数的概念及运算 必会题型二：对数函数的概念、图象及应用 必会题型三：对数型复合函数有关的单调性、奇偶性及值域 必会题型四：与对数函数相关的综合问题 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．对数的概念与性质 (1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数．logaN读作以a为底N的对数． (2)通常以10为底的对数叫作常用对数，记作lgN；以e＝2．71828…为底的对数叫作自然对数，记作lnN． (3)基本性质：①负数没有对数，即logaN中真数必须大于零； ②1的对数为0，即loga1＝0； ③底数的对数为1，即logaa＝1； ④对数恒等式：a＝N，logaax＝x． 2．对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，c＞0，c≠1，M＞0，N＞0，则： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)，logMm＝logaM； (4)换底公式及常用结论：logab＝，logab＝，logab·logbc·logca＝1…． 3．对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数． 注：以10为底的对数函数y＝lgx为常用对数函数； 称以无理数e为底的对数函数y＝lnx为自然对数函数． 4．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像和性质 a＞1 0＜a＜1 附加：底数大小规律 图像 性质 (1)定义域内是增函数 (2)①0＜x＜1时，y＜0； ②x＞1时，y＞0 (1)定义域内是减函数 (2)①0＜x＜1时，y＞0； ②x＞1时，y＜0 共同 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域(－∞，＋∞) (3)过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 5．比较对数值大小的方法 6．对数函数综合性质 (1)定点规律：形如y＝logaf(x)＋b的函数图象恒过定点(x，b)，注：令f(x)＝1求x (2)对称规律：①y＝logaxy＝； ②y＝logaxy＝loga(－x)； ③y＝logaxy＝|logax|； y＝logaxy＝loga|x| 7．形如f(x)＝logag(x)的函数： (1)f(x)＝logxg(x)的定义域必须同时满足：①x＞0，x≠1；②g(x)＞0 (2)f(x)＝logag(x)的单调性[同增异减]： ①a＞1时f(x)与g(x)在定义域内的单调性相同 ②0＜a＜1时f(x)与g(x)在定义域内的单调性相反 (3)f(x)＝logag(x)的值域求解步骤： ①分解成y＝logau，u＝g(x)； ②求g(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：对数的概念及运算 1．(2022·北京·人大附中高一阶段练习)的值是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2021·上海中学高一期末)且)，则的值为(    ) A． B．4 C．1 D．或1 3．(2022·广东·惠州市华罗庚中学高一阶段练习)___________． 4．(2021·山西·太原市实验中学高一阶段练习)计算 (1)； (2). 必会题型二：对数函数的概念、图象及应用 1．(2021·陕西·无高二期中(理))已知全集，集合，则等于(    ) A． B． C． D． 2．(2022·广西·梧州市黄埔双语实验学校高一期中)函数与在同一直角坐标系中的图象可能是(   ) A． B． C． D． 3．(2022·吉林·东北师大附中模拟预测)函数在单调递增，求a的取值范围(    ) A． B． C． D． 4．(2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习)设，则的大小关系是(    ) A． B． C． D． 5．(2022·上海·高一专题练习)若，则P，Q，R的大小关系是______． 6．(2022·湖北·十堰市柳林中学高一阶段练习)已知函数，且． (1)求函数的定义域和零点； (2)若，且，求实数的取值范围． 必会题型三：对数型复合函数有关的单调性、奇偶性及值域 1．(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一阶段练习)函数的单调递增区间是(    ) A． B．(1，2) C．(0，1) D． 2．(2022·江苏省上冈高级中学高一期中)