1.5 三角函数的应用（分层练习）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用 精选练习 基础篇 一、单选题 1．（2022·江苏泰州·九年级期中）一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（　　） A．700米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设上升的高度为x米， ∵上山直道的坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得：，（舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 2．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以计算出书架第七层顶端离地面的高度． 【详解】解：由题意可得， ，米，， ， （米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知塔的水平距离，则此时塔高的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在和中，利用锐角三角函数求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴． 即此时塔高的长为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 4．（2022·山东济南·模拟预测）小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角，小明在坡比为的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角，则山高为（　　）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，从而得到米，米，设米，则米，由，可得米，再由，可得，从而得到，求出x，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵米， ∴米，米， 设米，则米， ∵， ∴米， 又∵， ∴， 即：， 解得， ∴米， ∴米． 即山高为米． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 5．（2022·河北石家庄·九年级期中）如图，一块矩形薄木板斜靠在墙角处（，点，，，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，于，则点到的距离是，根据已知条件可证明得四边形是矩形，且，在中，，可求得，在中，，可求得，由，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作于，于， ∴到的距离是， ∵，矩形，即， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴，即， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角形函数的计算方法，掌握矩形中，对边平行且相等，锐角三角函数中正弦、余弦的计算方法是解题的关键． 6．（2022·河北·石家庄市第四十二中学九年级期中）如图，沿方向架桥，以桥两端出发，修公路和，测得，m，，则公路的长为（    ） A．900m B．m C．m D．1800m 【答案】B 【分析】过点C作，垂足为E，根据三角形内角和定理可求出，的度数，进而求出的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的关系可得答案． 【详解】过点C作，垂足为E， ， ， ， ， ， 在Rt中，，m， m， 在Rt中，， m， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 二、填空题 7．（2022·广西贵港·九年级期中）桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A，B两处的距离为，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿与绳子的夹角为，则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是_______m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：） 【答案】 【分析】过点B作垂直悬绑汲器的绳子于C，将实际问题转化成解直角三角形，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点B作垂直悬绑汲器的绳子于C， 由题意得，在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形相关知识是解题的关键． 8．（2022·山东·淄博市张店区第