第一章 直角三角形的边角关系（单元小结）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

新课标 北师大版 九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元小结 本章知识架构 2022/12/13 2 知识专题 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=90°. 直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 知识点一.理解锐角三角函数的概念 3 Administrator (A) - 知识专题 b A B C a ┌ c 互余两角之间的三角函数关系:当∠A+∠B=90°. sinA=cosB cosA=sinB tanA·tanB=1 4 知识专题 b A B C a ┌ c 同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1. 2022/12/13 5 知识专题 2 1 三角函数 角度 sinα cosα tanα 30° 45° 60° 1 知识点二.特殊角的三角函数值 2022/12/13 6 知识专题 当α越大时，sinα越大，tanα越大，cosα反而越小。 若∠A+∠B=90°时， sinA与cosB的关系是_______________， tanA与tanB的关系是_______________。 sinA=cosB tanA·tanB=1 7 知识专题 由锐角的三角函数值反求锐角 填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维) ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= 2022/12/13 8 知识专题 解直角三角形除了直角外，至少还需要： 1.任意两边的长; 2.任意一边和一个锐角 由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程, 叫做解直角三角形。 知识点三.解直角三角形 直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角 2022/12/13 9 知识专题 知识点四.三角函数的应用 l h α （1）坡度 i ＝ h l = tanα（α为坡角） 仰角：当从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的夹角 俯角：当从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的夹角 10 知识专题 （2）仰角和俯角 视线 铅垂线 水平线 视线 仰角 俯角 （3）方位角 30° 45° B O A 东 西 北 南 方位角：正南（北）或正东（西）方向与目标方向线所成的角 11 知识专题 图 形 关 系 式 BC=DC-BD =AD·(tan α-tan β) BC=BD+DC =AD· 【与测量有关的常见图形与关系式】 12 知识专题 图 形 关 系 式 BD=CE AC=BC·tan α AE=AC+CE AC= AG=AC+CG =AC+BE = 测量底部不可到达的物体的高度 【与测量有关的常见图形与关系式】 测量底部可以到达的物体的高度 a b 13 考点专练 专题一 关于锐角三角函数的概念及计算 例1 在△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c, 且b2= (c+a)(c-a), 5b-4c=0, 求sinA+sinB的值． 分析 判断出三角形的形状是关键. 出现比值问题时, 先设出其中的 一份, 再求解；在直角三角形中, 一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边之比. 14 考点专练 解： ∵b2=(c+a)(c-a), ∴b2=c2-a2, 即a2+b2=c2, ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形. ∵5b-4c=0, 设b=4k(k>0), 则c=5k, ∴在Rt△ABC中, 15 考点专练 【要点指导】中考中常借助一定的背景图形(网格、三角形等)通过等量代换及转化, 将某些无法求解的锐角三角函数转移或构建特殊的直角三角形, 借助数形结合求解. 16 考点专练 专题二 特殊角的三角函数值与实数运算相结合 例2 已知锐角三角形ABC中的∠A与∠B满足(1-tanA)2+ |sinB- (1)求∠C的度数； 17 考点专练 18 考点专练 【要点指导】中考常将特殊角的三角函数值与实数运算相结合来设置运算题, 考查学生对特殊角的三角函数值的掌握情况及实数的运算能力. 熟记特殊角的三角函数值以及实数的运算律、运算法则是解决此类问题的关键. 19 考点专练 专题三 利用三角函数知识解决实际问题 例3 如图1-Z-2所示(示意图), 小杨在广 场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕, 测得屏幕下端D处的仰角为30° , 然后他正对大楼方向前进5 m到